1.3.4. Корреляционная функция сигнала

Понятие “корреляция” отражает степень сходства некоторых объектов или явлений. Применительно к сигналам корреляционная функция есть количественная мера сходства двух копий сигнала, сдвинутых друг относительно друга по времени на некоторую величину . Чем больше значение корреляционной функции, тем больше похожи сигналы друг на друга.

Корреляционная функция задается следующим выражением:

∞

R_ss() = ∫ s(t) s(t – )dt. (1.30)

 ∞

Здесь индекс R_ss означает, что вычисляется автокорреляционная функция (АКФ) сигнала s(t) с его сдвинутой копией.

Автокорреляционная функция (АКФ) сигнала обладает следующими свойствами:

1. Значение АКФ при  = 0 равно энергии сигнала:

∞

R_ss(0) = ∫ s(t)²dt.  ∞

2. АКФ является четной и невозрастающей функцией:

R_ss( ) = R_ss( ), R_ss( ) ≤ R_ss(0).

3. АКФ сигнала с конечной энергией при  → ∞ стримится к нулю.

4. АКФ периодического сигнала периодична с периодом, равным периоду самого сигнала.

Если АКФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то аналогичная ей взаимная корреляционная функция (ВКФ) позволяет оценить степень подобия двух различных сигналов:

∞

R₁₂() = ∫ s₁(t) s₂(t  )dt. (1.31)  ∞

Вычисление АКФ и ВКФ сигналов является одним из основных алгоритмов обработки сигналов при их приеме на фоне помех. В связи с этим понимание физического смысла корреляции и знание свойств корреляционных функций различных сигналов являются важными элементами образования специалиста в области передачи информации и связи. Более подробно вопросы практической реализации алгоритмов обработки сигналов в системах связи будут рассматриваться в соответствующих разделах курса.

1.3.5. Связь между корреляционной функцией и спектром сигнала

Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются результатом интегральных преобразований сигналов, то логично предположить, что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Найдем характер этой связи. Применим к ВКФ (1.31) преобразование Фурье:

∞ ∞ ∞

∫ R₁₂() exp(j2π f) d. = ∫ ∫ s₁(t) s₂(t – ) exp(j2π f)dtd =

 ∞  ∞  ∞

∞ ∞

= ∫ s₁(t) exp(j2π ft) ∫ s₂(t  ) exp(j2π f(t  ))dtd(t  ) = S₁(f)S₂^*(f). (1.32)

 ∞  ∞

Полученный результат объясняется следующим образом: преобразованием Фурье от ВКФ является так называемый взаимный спектр сигналов S₁(f)S₂^*(f) – произведение комплексно сопряженных спектров сигналов s₁(t) и s₂(t). Отсюда следует важный вывод: если спектры сигналов не перекрываются, то есть их взаимный спектр равен нулю, то эти сигналы некоррелированы.

Положив s₁(t)= s₂(t)= s(t), получим аналогичный результат для АКФ:

∞ ∞ ∞

∫ R_ss() exp(j2π f) d = ∫ ∫ s(t) s(t  ) exp(j2π f)dtd =

 ∞  ∞ ∞

∞ ∞

= ∫s(t) exp(j2π ft) ∫ s(t  )exp(j2π f(t  ))dtd(t  )= S(f)S^*(f)=|S(f)|², (1.33)

 ∞  ∞

где |S(f)|²  так называемый энергетический спектр сигнала. Таким образом, корреляционная функция сигнала связана с его энергетическим спектром преобразованием Фурье.

Точно так же можно показать, что обратным преобразованием Фурье от энергетического спектра сигнала является его корреляционная функция (АКФ).

Полученный результат говорит о том, что по характеру корреляционной функции сигнала можно сложить представление о его спектре, и наоборот, зная вид энергетического спектра сигнала, можно легко представить характеристики его корреляционной функции. Так, с учетом свойства симметрии преобразования Фурье сигналы с широкими спектрами должны иметь короткие (быстро убывающие) АКФ, и наоборот, если АКФ сигнала является медленно убывающей функцией от , то такой сигнал должен иметь относительно узкий спектр.