1.3.2. Разложение сигнала по системе ортогональных функций. Спектр сигнала
Сложные сигналы произвольной формы при их изучении и анализе удобно представлять в виде некоторой комбинации более простых сигналов известной формы. Такой прием – разложение произвольной функции по различным системам детерминированных базисных функций – очень широко используется в радиотехнике и называется обобщенным спектральным анализом.
В математике доказывается, что произвольная непрерывная функция s(t), для которой выполняется условие конечности энергии
t2
∫ || s(t)||2 dt ∞ , (1.5)
t1
может быть абсолютно точно представлена в виде бесконечной суммы ряда
s(t) = с0 φ0(t) + с1 φ1(t) + с2 φ2(t) +….сn φ n(t)…, (1.6)
где φ n(t) – система ортогональных непрерывных функций; сn – коэффициенты ряда, определяемые как
t2
сn = (1/ t2 – t1) ∫ s(t) φ n(t) dt . (1.7)
t1
Разложение (1.6) называют обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты, определяемые в соответствии с (1.7), – обобщенными коэффициентами Фурье.
Что такое система ортогональных функций? Система действительных функций φ0(t), φ1(t), φ2(t),…, φ n(t),… называется ортогональной на отрезке [ t1 , t2 ], если
t2
∫ φ n(t) φ m(t) dt = 0 при n ≠ m. (1.8)
t1
При этом предполагается, что ни одна из них тождественно не равна нулю на этом интервале:
t2
∫ φ n2(t) ≠ 0 при любом n. (1.9)
t1
Обобщенный ряд Фурье обладает очень важным практическим свойством: при ограниченном числе слагаемых суммы (1.6) он обеспечивает наилучшую аппроксимацию данной функции s (t). Иными словами, если бесконечная сумма (1.6) позволяет восстановить произвольную функцию s(t) по набору коэффициентов ряда Фурье абсолютно точно, то при ограничении количества членов ряда никакой другой способ разложения не может дать лучшего приближения суммы (1.6) к функции s (t).
Одной из наиболее удобных систем ортогональных функций, которые могут использоваться для разложения произвольных сигналов, является система тригонометрических функций синусов и косинусов:
φсn(t) = cos ( 2π fn t), φsn(t) = sin (2 π fn t), (1.10)
или в комплексной форме
φеn( t ) = exp( j 2π fn t ). (1.11)
Выбор в качестве базиса разложения гармонических колебаний объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является простейшей функцией, определенной при всех значениях t и не поддающейся дальнейшему разложению. Во-вторых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, не изменяющей своей формы при прохождении через линейные цепи с постоянными во времени параметрами. Изменяются лишь амплитуда и фаза колебания.
Если в качестве базиса разложения выбрана система тригонометрических функций, то говорят не об обобщенном ряде Фурье, а просто о разложении функции в ряд Фурье:
s (t) = с0 + an cos (2π fn t) + bn sin (2 π fn t), (1.12)
где коэффициенты ряда an и bn рассчитываются по формулам
t2
an = (1/ t2 – t1) ∫ s(t) cos (2π fn t)dt, (1.13)
t1
t2
bn = (1/ t2 – t1) ∫ s(t) sin (2π fn t)dt, (1.14)
t1
или в комплексной форме
s (t) = сn exp( j2π fn t ), (1.15)
для которой коэффициенты сn определяются выражением
t2 = t1+T
сn = 1/T ∫ s(t) exp(j2π fn t ) dt . (1.16)
t1
Набор коэффициентов ряда Фурье сигнала называется спектром Фурье этого сигнала, или просто спектром.
Разложение фунции в ряд Фурье называют ее гармоническим, или спектральным, анализом, а слагаемые ряда, аппроксимирующего функцию, – ее спектральными составляющими. Таким образом, спектральный анализ сигнала s(t) показывает, сколько и каких по величине спектральных составляющих (гармоник) содержится в данном сигнале.
В качестве примера рассмотрим разложение в ряд Фурье сигнала в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов, так называемого меандра (рис. 1.5).
Рис. 1.5
Найдем для этого сигнала коэффициенты ряда Фурье. Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его разложения удобно пользоваться синусно-косинусной формой ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные (четные) слагаемые с коэффициентами
T/2 T/4
an = (1/Т)∫ A cos (2π fn t)dt = (1/Т)∫ A cos (2πnt/T)dt = (2A/πn)sin(πn/2). (1.17)
T/2 T/4
Представление сигнала типа “меандр” в виде ряда Фурье с учетом этого можно записать следующим образом
s(t) = 2A/ π { cos (2πt/T) – 1/3 cos (3∙2πt/T) +1/5 cos (5∙2πt/T ) – …}. (1.18)
При этом Фурье-спектр “меандра” (значения и амплитуды гармонических составляющих, входящих в сумму) будет иметь вид, приведенный на рис. 1.6, а процесс сложения сигнала s(t) из отдельных гармоник (конечного числа членов ряда (1.18)) иллюстрируется рис. 1.7.
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Приведенные выше примеры разложения функций в ряд Фурье относятся к периодическим сигналам s(t) с периодом T. Спектр сигнала в этом случае имеет дискретный, или линейчатый, характер с дискретностью 1/T.
Для непериодических сигналов конечной длительности s(t) используется другая форма разложения, при которой дискретность, или шаг вычисления спектра, стремится по величине к нулю и дискретный ряд Фурье переходит в интеграл Фурье, или преобразование Фурье. Переход от ряда Фурье для периодического сигнала к интегралу Фурье для непериодического сигнала можно объяснить следующим образом. Любую финитную непериодическую функцию можно рассматривать как функцию периодическую с периодом T = ∞. Тогда к ней можно применить разложение в ряд Фурье с дискретно-
стью гармоник 1/T = 1/∞ = 0. При этом сумма (1.15) превращается в интеграл
∞
s(t) = ∫ S(f) exp(j2π ft) df . (1.19)
∞
Это выражение представляет собой непериодическую функцию S(t) как бесконечную сумму экспоненциальных функций exp(2πft) с частотой на интервале ( ∞ f ∞) и весом, определяемыми для каждой частоты величиной S(f), которая называется функцией спектральной плотности и имеет тот же смысл, что и коэффициенты сn для ряда Фурье.
Функция спектральной плотности для интеграла Фурье определяется следующим образом:
∞
S(f) = ∫ s(t) exp(–j2π ft) dt. (1.20)
∞
Пара выражений (1.20) и (1.21) называется соответственно прямым (определение спектра по сигналу) и обратным (определение сигнала по его спектру) преобразованиями Фурье и является одним из фундаментальных соотношений в радиотехнике, которые по своему значению подобны теореме Пифагора в геометрии.
Функция S(f) (спектральная плотность, или просто спектр) является прямым преобразованием Фурье сигнала s(t). Она характеризует амплитуды различных частотных составляющих, входящих в этот сигнал. Поэтому говорят, что фунция S(f) является частотным представлением сигнала s(t).
В свою очередь, временной сигнал s(t) может быть получен обратным преобразованием Фурье его спектра S (f). Обе формы представления эквивалентны, поскольку могут быть получены друг из друга линейным преобразованием, хотя более привычной для нас и является временная форма представления сигнала – его задание значениями в различные моменты времени.
Символически прямое и обратное преобразования Фурье часто обозначают как
S (f) = F [s(t)] и s(t)= F -1[S(f)]. (1.21)