1.7. Квантование. Ошибки квантования

Передачу любых сообщений λ(t) можно свести к передаче их отсчетов λ_i, следующих друг за другом с интервалом дискретности t  1/2F_m. Тем самым бесконечное множество значений сообщения λ(t) заменяется конечным числом его отсчетов. Однако сами эти отсчеты все еще принадлежат непрерывному множеству. Для их абсолютно точного представления в виде чисел понадобится бесконечное число разрядов. Однако на практике нет необходимости в абсолютно точном представлении значений λ_i.

Во-первых, сами источники вырабатывают сообщения с определенным уровнем искажений. Во-вторых, передача сообщений по каналам связи всегда производится в присутствии помех. Поэтому принятое сообщение (его оценка ^*(t)) всегда немного отличается от переданного, то есть на практике невозможна абсолютно точная передача сообщений. Наконец, сообщения передаются для их восприятия получателем. Получатели же информации  органы чувств человека, исполнительные механизмы и т.д.  не замечают незначительной разницы между абсолютно точным и приближенным значениями воспроизводимого сообщения.

С учетом этих замечаний процедуру дискретизации можно продолжить подвергнув отсчеты λ_i квантованию. Квантование состоит в замене точных значений отсчетов _i(_min , _max) их приближенными значениями, путем округления до ближайших разрешенных уровней { ₁,...,_m } (рис. 1.16).

Рис. 1.16

Интервал между соседними разрешенными уровнями _i, или уровнями квантования,  =  _i+1  _i называется шагом квантования.

Различают равномерное и неравномерное квантование. В большинстве случаев применяется равномерное квантование, при котором шаг квантования постоянный:  = λ_i  λ_i-1= const. Однако иногда определенное преимущество дает неравномерное квантование, при котором шаг квантования _i разный для различных λ_i (рис. 1.16, б).

Квантование приводит к искажению сообщений. Если результат квантования отсчета _i обозначить как λ_iq ,то

(1.62)

где _i  разность между квантованным и точным значениями _i, называемая ошибкой квантования, или шумом квантования.

Поскольку квантование приводит к появлению ошибок и потере некоторой части информации, можно определить “цену” таких потерь d(  , λ_q ) и среднюю величину ошибки, обусловленной квантованием,

(1.63)

Чаще всего в качестве “цены потерь” используется квадратичная функция вида

(1.64)

В этом случае мерой ошибок квантования служит дисперсия (мощность) этих ошибок. Для равномерного M-уровневого квантования с шагом  дисперсия ошибок квантования определяется следующим образом:

. (1.65)

Абсолютное значение ошибки квантования не превосходит половины шага квантования /2, и тогда при большом количестве уровней квантования M и малой величине  плотность вероятностей ошибок квантования f(_i ) можно считать равномерной на интервале +/2 …  /2:

(1.66)

Тогда дисперсия ошибки квантования D(q) = σ_q² будет такой:

. (1.67)

Другим удобным показателем уровня искажений, обусловленных квантованием, является отношение сигнал/шум на выходе устройства квантования – отношение пиковой мощности сообщения к дисперсии шума квантования:

. (1.68)

Очевидно, что отношение сигнал/шум на выходе квантователя растет с ростом количества уровней квантования и в пределе при М → ∞ сигнал становится аналоговым, а отношение сигнал/шум – равным бесконечности.

Еще раз напомним, что процедура квантования данных позволяет заменить абсолютно точное их представление, требующее теоретически бесконечного количества разрядов, приближенным с той или иной точностью. Какая же точность квантования сообщений нужна на практике? По этому поводу можно высказать следующие соображения: шумы квантования, или искажения, обусловленные квантованием, не имеют существенного значения, если эти искажения меньше ошибок, обусловленных помехами в канале связи, и существенно не искажают восприятия информации.

Так, например, при передаче и хранении речи и музыки искажения практически не заметны, если все отсчеты случайным образом изменить на 0,01…0,1%, при передаче изображений  на 0,1…1 % и т.д. Даже профессиональный эксперт не может заметить искажений в музыкальном произведении, если квантование производится с точностью выше 0,01 % (количество уровней квантования М > 100000). Если представить квантованные с такой точностью числа в двоичном формате, то количество двоичных разрядов составит N=log₂ M= log₂100000 ≈ 1718 бит. Именно из этих соображений (по частоте дискретизации и количеству уровней квантования) выбраны стандарты цифровой записи музыки на компакт-дисках.