Производная в физике

(§5, п.21)

Механический смысл производной функции - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался рассматриваемой функцией , производную, с физической точки зрения, можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

В частности, если S – это путь, пройденный точкой за время t, то функция S=S(t) задает закон движения точки, а производная - определяет скорость v(t), с которой движется точка в момент времени t, т.е.

Скоростью тела в произвольный момент времени t называется производная по времени от закона движения тела:

а) прямолинейное движение:

скорость тела, закон движения тела;

(*)

б) круговое движение

угловая скорость тела, закон движения тела;

Ускорением тела в произвольный момент времени t называется производная по времени от скорости тела:

а) прямолинейное движение

(**)

б) круговое движение

Пример 1. Маховик вращается по закону

рад.).

Через сколько времени от начала движения угловая скорость маховика будет равна 3 рад/сек? Чему равно ускорение в этот момент времени?

Решение:

Определим угловую скорость маховика в произвольный момент времени t. Так как скорость тела – это производная от закона движения, то

(рад/сек).

Для того, чтобы найти время, при котором скорость тела равна 3 (рад/сек), необходимо решить уравнение:

или ,

откуда , (cек).

Таким образом, через 3 секунды от начала движения скорость маховика будет равна 3 рад/сек.

Чтобы вычислить ускорение в данный момент времени, нужно определить ускорение тела в произвольный момент времени t, для чего применим формулу (**):

, получим:

.

Для нахождения ускорения в момент времени 3 сек., необходимо в полученное выражение вместо параметра t подставить 3, получим:

.

Ответ: t = 3 (сек.) ; а(3) = 2

Пример 2. Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону:

(м)

Найти скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Решение:

Найдем момент времени, при котором тело соприкоснется с землей. В это время расстояние от тела до земли будет равно нулю, т.е. , значит, для нахождения этого времени необходимо решить уравнение

или .

Вынесем общий множитель за скобку, после чего каждый сомножитель приравняем к нулю:

,

, , .

Таким образом, тело соприкоснется с землей через 3 сек.

Найдем скорость тела в произвольный момент времени t, используя формулу (*):

.

Определим скорость тела в момент времени 3 сек:

(м/сек).

Ответ: (м/сек).

Применение производной к исследованию функции

(§6, п.22-24)

Исследование функции и построение ее графика удобно проводить по следующей схеме:

1. Область определения функции.

2. Производная.

3. Критические точки.

4. Промежутки возрастания и убывания функции.

5. Значения функции в критических точках.

6. Точки пересечения с осями координат.

7. Экстремумы функции.

8. Построение графика функции.

Результаты исследования функции целесообразно свести в таблицу, а построение графика начать с нанесения точек максимума и минимума, а также точек пересечения с осями координат.

Для исследования функции необходимо знать следующие определения:

- Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими.

- Точки, в которых производная меняет свой знак с плюса на минус, называются точками максимума функции.

- Точки, в которых производная меняет свой знак с минуса на плюс, называются точками минимума функции.

- Функция называется возрастающей на промежутке [a;b], если ее производная положительна на этом отрезке.

- Функция называется убывающей на промежутке [a;b], если ее производная отрицательна на этом отрезке.

- Точки минимума и максимума называются экстремумами функции.

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох, надо решить уравнение , в частных случаях в этих точках возможно лишь касание графика оси Ох.

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Оу, нужно вычислить значение функции в точке х = 0, если эта точка входит в область определения функции.

Рассмотрим применение схемы исследования функции при решении задач.

Пример1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

Исследование проведем по приведенной выше схеме:

1. Область определения функции – вся числовая прямая, так как - многочлен, то есть

2. Вычислим производную функцию:

3. Производная функции определена на всей числовой прямой, поэтому критических точек, в которых производная не существует, нет. Найдем точки, в которых производная равна нулю.

, откуда ,

, .

Следовательно, рассматриваемая функция имеет две критические точки.

4. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции определим знак производной слева и справа от критических точек:

+ - +

х

Таким образом, в промежутках

- функция возрастает,

- функция убывает.

5. Вычислим значения функции в критических точках.

6. Найдем точки пересечения с осями координат.

Точки пересечения с осью Ох:

;

Последнее уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений, решая которые, получим:

, , , , .

Найденные значения – это абсциссы точек пересечения графика заданной функции с осью Ох.

Точки пересечения с осью Оу:

Для нахождения этих точек необходимо вычислить значение функции в точке х = 0.

.

Таким образом, график пересекает ось Оу в начале координат.

6. Результаты исследования функции занесем в таблицу:

х
f(x)	+	0	-	0	+
		3,1		-3,1
Экстре- мумы		max		min

6. Опираясь на полученные данные построим график функции:

у

О х