3. Применения производной касательная к графику функции

(§5, п.19)

Если функция задана уравнением y=f(x), то тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке , с осью абсцисс равен производной от этой функции в точке , то есть:

у ,

где  - угол наклона касательной

Уравнение касательной к

y=f(x) графику функции f(x) в точке имеет вид:

(*)

О х Угол наклона касательной вычисляется по формуле:

(**)

Пример 1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке и найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

Решение:

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу (*):

,

Поэтому необходимо вычислить значение функции в точке и значение производной в данной точке.

Вычислим значение функции в точке :

Применяя формулы дифференцирования, найдем производную исходной функции:

;

Определим значение производной в точке :

. (***)

Подставляя найденные значения в формулу (*), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение касательной к графику заданной функции в точке :

.

Для нахождения тангенса угла наклона касательной, воспользуемся формулой (**) и значением производной в точке (***):

; .

Ответ: - уравнение касательной,

- тангенс угла наклона.

Пример 2. Написать уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

Уравнение касательной к графику функции будем находить при помощи формулы(*). Найдем значение функции в точке :

Определим производную заданной функции:

Вычислим значение производной в точке :

.

Для вывода уравнения касательной подставим полученные значения в формулу (*):

Ответ: .

Пример 3. Составить уравнения касательных к кривой

,

проходящих через точку .

Решение:

Проверим, принадлежит ли заданная точка А параболе ? Для этого подставим координаты точки А в уравнение параболы:

Так как координаты заданной точки А не удовлетворяют условию , то это значит, что точка А не лежит на графике заданной функции. Поэтому, прежде всего надо найти точки на параболе, через которые пройдут искомые касательные. Обозначим координаты этих точек через

Найдем уравнения касательных, проходящих через эти точки, пользуясь формулой (*). Для этого:

1. Вычислим значение функции в точке :

;

2. Найдем производную исходной функции:

3. Вычислим значение производной в точке :

.

4. Подставим найденные значения функции и ее производной, вычисленные в точке , в формулу (*):

; (****)

Полученное уравнение – это уравнение касательной, проведенной к заданной параболе в точке . Найдем координаты точки касания . Так как по условию задачи эта касательная должна проходить через точку А, следовательно, ее координаты удовлетворяют полученному уравнению. Заменяя координаты на координаты точки А(2;8) в уравнении (****), получим:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем неполное квадратное уравнение:

или

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

, следовательно, .

Определим ординаты полученных точек:

при ,

при

Таким образом, через точку А(2;8) проходят две касательные к заданной параболе. Точки касания имеют координаты и .

Для составления уравнений касательных найдем значения производных в эти точках: так как , то ; . Подставляя полученные значения в формулу (*), найдем уравнения касательных к параболе в точках с координатами (0;2) и (4;30): . х Ответ:

у

.

А(2;8)

Пример 4. Найти координаты точки А, в которой касательная к параболе образует с осью Ох угол 45°.

Решение:

Найдем тангенс угла наклона касательной, проведенной в искомой точке, к оси Ох, применяя формулу (**):

Угол  по условию задачи равен 45°, следовательно,

Так как , то получим

,

откуда

или

Определим ординату полученной точки. Для этого подставим значение в уравнение параболы , получим:

.

Таким образом, искомая точка имеет координаты А(1;-12).

Ответ: А(1;-12).