2.1. Постановка задачі

Нехай f – поліном або трансцендентна функція однієї змінної, дійсної або комплексної. Будемо передбачати, що ця функція диференційована. Треба знайти один або більше нулів f, тобто розв’язків рівняння . Будь-яке число , яке обертає функцію в нуль, тобто таке, при якому , є коренем рівняння.

Число називається коренем k-ї кратності, якщо при разом з функцією дорівнюють нулю її похідні до порядку включно. Однократний корінь прийнято називати простим.

Нелінійні рівняння з однією змінною підрозділяються на алгебраїчні і трансцендентні. Рівняння називається алгебраїчним, якщо воно подається алгебраїчною функцією. Відомо, що алгебраїчне рівняння має як мінімум один корінь дійсний чи комплексний.

Якщо функція не є алгебраїчною, то вона називається трансцендентною.

Знаходження коренів рівняння є однією древніших математичних проблем, яка не втратила своєї гостроти і в наші дні. Вона часто зустрічається в різних галузях науки і техніки.

У загальному випадку, функції, корені яких будемо знаходити, не матимуть аналітичних формул для своїх коренів.

Оскільки значна кількість рівнянь з однією змінною не розв’язується шляхом аналітичних перетворень (точними методами), то на практиці їх розв’язують тільки числовими методами. Розв’язати таке рівняння – це значить визначити, чи має воно корені, скільки коренів існує, та знайти значення коренів з заданою точністю. Задача числового знаходження коренів рівняння зазвичай складається з двох етапів:

– відділення коренів, тобто знаходження достатньо малих околів області, що розглядається, в яких міститься одне значення кореня;

– уточнення коренів, тобто обчислення коренів з заданою точністю в деякій околиці.

Надалі будемо розглядати числові методи знаходження дійсних коренів рівняння . Найбільш поширеними на практиці числовими методами розв’язання таких рівнянь є: метод половинного ділення, метод хорд, метод дотичних (Ньютона), комбінований метод, метод простої ітерації. Застосування того чи іншого метода для розв’язання рівняння залежить від числа коренів, задання вихідного наближення и поведінки функції, корені якою розшукуються.

2.2. Відділення коренів

Першим етапом числового розв’язання рівняння з однією змінною є відділення коренів, тобто визначення проміжків визначення функції, які містять тільки один корінь. Відділити корені – це значить розбити область допустимих значень функції на відрізки, в кожному із яких є один корінь.

Відділення коренів можна зробити двома способами – графічним і аналітичним.

Графічний спосіб відділення коренів. При графічному способі відділення коренів будують графік функції для рівняння вигляду . Приймаючи до уваги, що дійсні корені рівняння – це точки перетину графіка цієї функції з віссю абсцис, тому достатньо побудувати графік і відмітити на осі Ох ділянки, які містять тільки один корінь.

Розглянемо графік функції , показаної на рис. 1. Цей графік тричі перетинає вісь абсцис. Отже рівняння має три простих корені. Крива, показана на рис. 2, торкається осі Ох. Отже вона описується рівнянням з двократним коренем.

Я кщо крива подається рівнянням з трикратним дійсним коренем, то в місці торкання з віссю Ох вона має точку перегину (рис. 3).

Г рафічному методу відділення коренів не притаманна висока точність. Він дає можливість грубо визначити інтервали ізоляції кореня. У подальшому корені уточнюються одним із способів, що розглядаються нижче.

Аналітичний спосіб відділення коренів. Аналітично корені рівняння можна відділити, застосовуючи деякі властивості функцій, що вивчаються в курсі математичного аналізу.

Запишемо без доказу теореми, знання яких необхідні при відділенні коренів.

Теорема 1. Якщо функція неперервна на відрізку [А, B] і приймає на кінцях цього відрізка значення різних знаків, тобто , то всередині відрізка [А, B] існує принаймні один корінь рівняння , тобто значення х*, що .

Корінь х* буде єдиним на відрізку [А, B], якщо похідна існує та зберігає знак всередині інтервалу (А, B).

Теорема 2. Якщо функція неперервна і монотонна на відрізку [А, B] та приймає на кінцях цього відрізка значення різних знаків, то всередині відрізка [А, B] міститься корінь рівняння і до того ж єдиний.

Теорема 3. Якщо функція неперервна на відрізку [А, B] і приймає на кінцях цього відрізка значення різних знаків, а похідна зберігає постійний знак всередині відрізка, то всередині відрізка [А, B] корінь рівняння і до того ж єдиний.

Наведемо деякі відомості з математичного аналізу, які знадобляться в подальшому розумінні матеріалу.

Якщо функція задана аналітично, то областю існування (областю визначення) функції називається сукупність усіх тих дійсних значень аргументу, при яких аналітичний вираз, що визначає функцію, не втрачає числового сенсу і приймає тільки дійсні значення.

Ф ункція називається зростаючою, якщо із зростання аргументу значення функції збільшується (рис. 4, а і в), і убиваючою, якщо із зростанням аргументу значення функції зменшується (рис. 4, б і г).

Функція називається монотонною, якщо вона в заданому проміжку або тільки зростає, або тільки убуває.

Нехай функція неперервна на відрізку [А, B] і приймає на кінцях цього відрізка значення різних знаків, а похідна зберігає постійний знак всередині інтервалу (A, B). Тоді якщо у всіх точках інтервалу (A, B) похідна додатна, тобто , то функція у цьому інтервалі зростає (рис. 4, а і в).

Якщо ж у всіх точках інтервалу (a, b) перша похідна від’ємна, тобто , то функція у цьому інтервалі убуває (рис. 4, б і г). Коренем функції є абсциса точки перетину графіка функції з віссю Ох.

Нехай функція на відрізку [А, B] має похідну другого порядку, яка зберігає постійний знак на всьому відрізку. Тоді якщо то графік функції є опуклим униз (рис. 4, а і г); якщо то графік функції є опуклим уверх (рис. 4, б і в).

Точки, в яких перша похідна функції дорівнює нулю, а також ті, в яких вона не існує (наприклад, звертається в нескінченність), але функція зберігає неперервність, називаються критичними (ця ознака є необхідною ознакою екстремуму).

Якщо функція неперервна на відрізку [А, B], то на цьому відрізку завжди є точки, в яких вона приймає найбільше та найменше значення. Цих значень функція досягає або в критичних точках, або на кінцях відрізка. Отже, щоб визначити найбільше та найменше значення функції на відрізку треба:

1) визначити критичні точки функції;

2) обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка [А, B];

3) найбільше із значень, знайдених у п. 2, буде найбільшим, а найменше – найменшим значенням функції на відрізку.

У зв’язку з вищевикладеним можна рекомендувати наступний порядок дій для відділення корнів аналітичним методом.

1. Знайти – першу похідну.

2. Скласти таблицю знаків функції , приймаючи х рівним:

а) критичним значенням (кореням) похідної або найближчим до них;

б) граничним значенням (виходячи із області допустимих значень невідомого).

3. Визначити інтервали, на кінцях яких функція приймає значення протилежних знаків. Усередині цих інтервалів знаходиться по одному і тільки одному кореню.

Для відділення коренів можна ефективно використовувати ЕОМ.

Нехай маємо рівняння , при цьому можна вважати, що всі корені, які нас цікавлять, знаходяться на відрізку [А, B], де функція визначена і непереривна та . Треба відділити корені рівняння, тобто визначити всі відрізки [а, b] [А, B], що містять по одному кореню.

Б удемо розраховувати значення , починаючи з точки х = А, рухаючись праворуч з деяким кроком h (рис. 5). Як тільки виявиться пара сусідніх значень , що мають різні знаки, і функція монотонна на цьому відрізку, то відповідні значення аргументу х (попереднє і наступне)можна вважати кінцями відрізка, що містить корінь. Схема відповідного алгоритму зображена на рис. 6. Результатом розв’язання поставленої задачі буде виведення на екран монітора або на друк значень ідентифікаторів х₁ і х₂ (кінців виділених відрізків).

Очевидно, що надійність розглянутого підходу до визначення коренів рівнянь залежить як від характеру функції , так і від вибраної величини кроку h. Дійсно, якщо при достатньо малому кроці h. на кінцях поточного відрізку [x, x + h] функція приймає значення одного знаку, природно очікувати, що рівняння коренів на цьому відрізку не має. Це, однак, не завжди так: при недотриманні умови монотонності функція на відрізку [x, x + h] можуть виявитися корені рівняння (рис. 7, а). Не один, а кілька коренів можуть виявитися на відрізку [x, x + h] і при дотриманні умови (рис. 7, б). Передбачаючи подібні випадки, треба при відділені коренів вибирати достатньо малі значення h.