Лекція № 2 (алгоритми та методи обчислень)
2. Числове розв’язання рівнянь з однією змінною
Вступ
Електронні обчислювальні машини (ЕОМ) широко застосовуються для розв’язання наукових, технічних та економічних задач. Вони здатні виконувати обчислення дуже швидко, видавати точні результати, запам’ятовувати великі масиви інформації, здійснювати довгі та складні послідовності розрахунків без втручання людини. При цьому не зайвим буде додати, що ЕОМ не "розв’язує задачу". Вона допомагає лише розглядати різні варіанти досліджуваного питання.
ЕОМ не може задатися вихідними даними, перерахувати умови, за яких треба досліджувати роботу системи, визначати чи знаходити розумний ступінь компромісу між суперечливими критеріями.
Поняття "розв’язання задачі" з допомогою ЕОМ включає в себе набагато більше, ніж звичайні розрахунки на ЕОМ. Необхідно чітко розуміти, що робить людина і що робить машина.
Зазначимо, що процес розв’язання задачі з використанням ЕОМ в достатньо загальному випадку включає в себе наступні етапи:
1) постановка задачі та визначення кінцевих цілей;
2) побудова математичної моделі;
3) числовий аналіз;
4) програмування для ЕОМ;
5) налагодження програми;
6) розрахунки;
7) інтерпретація результатів.
Найбільш складним і відповідальним етапом розв’язання задачі є побудова математичної моделі. Цей етап вимагає повного розуміння проблеми та знання відповідних областей математики. Якщо обрана математична модель надто грубо відображає взаємозв’язки явища, що досліджується, то, які б витончені методи рішення не застосовувались, отримані результати не будуть відповідати умовам реальної задачі та виявляться марними. Математична модель може мати вигляд рівняння, системи рівнянь або бути вираженою в формі інших, як завгодно складних, математичних структур або співвідношень різної природи.
Числовий алгоритм розв’язання задачі необхідно виразити у вигляді точно визначеної послідовності операцій обчислювальної машини. Зазвичай ця робота виконується за дві стадії. На першій стадії послідовність операцій відображається графічно у вигляді блок-схеми. Потім розроблений алгоритм треба викласти мовою, зрозумілою обчислювальною машиною безпосередньо або після попереднього "перекладу".
Певні труднощі визиває етап розробки алгоритму, суть якого – пошук метода розв’язання задачі. Справа в тому, що навіть для достатньо простих моделей інколи не вдається отримати рішення в аналітичній формі. Наприклад, задача зведена до рішення рівняння з однією змінною
При всій тривіальності цієї задачі виразити корні цього рівняння шляхом аналітичних перетворень не вдається. Графічний метод бажаної точності не дає. У таких випадках доводиться використовувати числові методи, які дозволяють отримувати результати шляхом обчислень. З цієї причини найбільш природний шлях реалізації числових методів – використання ЕОМ.
Результати розрахунків, що видаються ЕОМ, не завжди мають повну "відповідь" до задачі. Людина, яка виконує розрахунки на ЕОМ, повинна якимось чином інтерпретувати результати, щоб зрозуміти, що вони означають з точки зору критеріїв, яким має задовольняти досліджувана система. Дуже часто доводиться частково або навіть повністю повторювати попередні етапи, поки задача не буде дійсно розв’язана.
Із цього стислого розгляду можна зробити деякі висновки. По-перше, ЕОМ сама задач не розв’язує, вона тільки виконує заздалегідь задані послідовності розрахунків. По-друге, використання ЕОМ не звільняє від необхідності ретельно осмислювати свою роботу. В дійсності використання ЕОМ примушує приділяти більше уваги осмислюванню розв’язуваних задач. Машина може виконувати розрахунки швидше і точніше людини, але вона не здатна приймати рішення відносно того, якою має бути програма розрахунків, а також, що робити з отриманими результатами. По-третє, ЕОМ жодним чином не знімає необхідності детального вивчення досліджуваної області та розділів математики, які застосовуються для розв’язання задачі.
Постановка задачі, визначення кінцевих цілей та математичний опис відносяться до відповідної галузі науки і техніки, а, отже, і інтерпретація результатів відносяться до тієї ж галузі науки чи техніки, що й вихідна задача.