3. Робота сили електростатичного поля. Потенціал

Оскільки на заряд в електростатичному полі діє сила, то при переміщенні заряду на відстань dl виконується елементарна робота:

,

(3.15)

де – кут між напрямками елементарного переміщення і сили .

Неважко довести, що електростатичне поле є потенціальним, а електростатичні сили – консервативними. Це значить, що робота цих сил не залежить від форми траєкторії руху тіла, а лише від координат початкової і кінцевої точок:

A12 = П1  П2,

(3.16)

де П₁ i П₂ – потенціальні енергії заряду, що рухається, в початковій і кінцевій точках траєкторії.

Потенціальна енергія заряду в електростатичному полі пропорційна величині цього заряду Q:

П = ,

(3.17)

де – енергетична характеристика поля, яка називається потенціалом.

Потенціал деякої точки поля – це скалярна фізична величина, яка чисельно дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку:

.

(3.18)

Потенціал – це алгебраїчна величина, знак якої залежить від знаку заряду, який створив дане електростатичне поле.

Робота при переміщенні заряду з точки 1 в точку 2:

.

(3.19)

Одиниця потенціалу в системі СІ – вольт (В). Одиниця напруженості електричного поля – вольт на метр (В/м).

На основі співвідношення (3.19) можна знайти, що одиниця енергії (джоуль) дорівнює добутку одиниць заряду і потенціалу: 1 Дж = 1 КлВ.

Крім того, існує позасистемна одиниця енергії, яка називається електрон-вольт (еВ) – це зміна енергії частки, заряд якої дорівнює одному елементарному заряду (див. (3.3)) при проходженні нею різниці потенціалів 1 вольт.

Ця одиниця широко застосовується при дослідженнях в галузі атомної фізики, фізики твердого тіла, електроніки та ін.

Для графічного зображення розподілу потенціалу у просторі користуються еквіпотенціальними поверхнями, тобто такими поверхнями, вздовж кожної з яких потенціал має одне певне значення. Еквіпотенціальні поверхні завжди перпендикулярні до силових ліній.

При графічному зображенні проводять ті поверхні, між сусідніми з яких одна й та ж сама різниця потенціалів. У цьому випадку густина еквіпотенціальних поверхонь є пропорційною напруженості поля.

Роботу А₁₂ можна виразити також через електростатичну силу (див. (3.15)):

.

(3.20)

Прирівнюючи це співвідношення до (3.19), отримаємо

.

(3.21)

І нтегрування можна виконувати вздовж будь-якої лінії, що з’єднує точки 1 і 2, оскільки робота електростатичних сил не залежить від форми траєкторії (Рис. 11).

Якщо заряд переміщується по деякому замкненому контуру L, то точки 1 і 2 зливаються в одну, і ліва частина (3.21) дорівнює нулю:

(3.22)

Цей інтеграл називається циркуляцією вектора напруженості по контуру L.

Отже, циркуляція вектора напруженості електростатичного поля по будь-якому замкненому контуру дорівнює нулю.

У випадку геометрично симетричних полів можна знайти аналітичні співвідношення для розрахунку потенціалу кожної точки такого поля.

1. Поле точкового заряду. Підставляючи в співвідношення (3.21) вираз для напруженості поля точкового заряду (3.5), після інтегрування (вважаючи, що потенціал поля на нескінченності дорівнює нулю) знайдемо потенціал поля на відстані r від точкового заряду Q:

.

(3.23)

Таку саму залежність має і потенціал поля зарядженої сфери або кулі поза межами самої сфери або кулі (r – відстань від центра).

2. Однорідне поле. Для однорідного поля напруженість є константою, яка виноситься за знак інтегралу (3.21), а тому різниця потенціалів між будь-якими двома точками 1 і 2 у однорідному полі

,

(3.24)

де l – відстань між точками 1 і 2, – кут між відрізком l і вектором , d – проекція відрізка l на напрямок поля (відстань між точками 1 і 2 вздовж поля).

Для двох паралельних різнойменно заряджених площин, розташованих на відстані d (див.(3.11)), їх різниця потенціалів

.

(3.25)

На основі співвідношення (3.21) можна отримати зв’язок між напруженістю поля і потенціалом у іншій формі:

,

(3.26)

де в правій частині  градієнт потенціалу (порівняти з (1.86)). Градієнт можна більш детально записати в такій формі (через суму частинних похідних від потенціалу):

,

(3.27)

де  орти декартової системи координат. Знак «» вказує на те, що вектор напруженості завжди спрямований у бік зменшення потенціалу.

8