Н апруженість поля, створеного системою електричних зарядів, дорівнює векторній сумі напруженостей, створених в даній точці кожним окремим зарядом.
Як було зазначено вище, густина ліній напруженості пропорційна модулю вектора . Якщо певний замкнений контур площею ds розмістити у електричному полі, то його перетне та чи інша кількість силових ліній, в залежності від площі контуру, густини ліній і кута повороту контуру відносно силових ліній (Рис. 5). Величина, пропорційна кількості силових ліній, що перетинають певний контур у просторі, називається
потоком вектора напруженості через цей контур і визначається співвідношенням:
|
(3.7) |
,
де
–
кут між векторами
і
(вектор
чисельно дорівнює площі контуру і
спрямований перпендикулярно до нього).
Слід врахувати, що це співвідношення
справедливе в тому випадку, коли контур
за розмірами є досить малим для того,
щоб електричне поле в межах цього контуру
вважати однорідним.
Потоком вектора напруженості електричного поля через малий замкнений контур називається скалярний добуток напруженості поля на вектор, що чисельно дорівнює площі контуру і спрямований перпендикулярно до нього.
Потік вектора напруженості – це алгебраїчна величина, знак якої визначається знаком величини cos. При цьому знак буде залежати від того, який з двох напрямків перпендикуляра до контуру обраний за напрямок вектора . Якщо контур обмежує частину замкненої поверхні, то обирається напрямок назовні по відношенню до об’єму всередині замкненої поверхні.
Якщо необхідно знайти потік через деяку довільну поверхню S, яку не можна вважати малою, треба обчислити інтеграл:
|
(3.8) |
.Знайдемо потік вектора напруженості електричного поля у вакуумі через сферичну поверхню радіуса r, що оточує точковий заряд Q (Рис. 6). Напруженість поля у всіх точках сфери, згідно з (3.5):
.
Вектор
в усіх точках перпендикулярний до
поверхні сфери, тобто при обчисленні
потоку вектора напруженості за формулою
(3.7)
.
Площа
поверхні
.
Застосовуючи формулу (3.8), знайдемо
повний потік вектора
через сферу:
.
Т
акий
саме результат ми отримаємо і для
замкненої поверхні довільної форми,
яка оточує заряд Q
(пунктир),
оскільки загальна кількість силових
ліній, які перетинають поверхню, не
зміниться (Рис. 6).
У випадку не одного, а кількох зарядів всередині замкненої поверхні їх потоки будуть складатись. Отже:
|
(3.9) |
.Теорема Гауса:
Потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, що знаходяться всередині цієї поверхні, поділеній на .
З
астосування
теореми Гауса дозволяє досить просто
розраховувати електростатичні поля
деяких симетричних тіл. В результаті
можна отримати наведені нижче
співвідношення.
1. Поле
рівномірно зарядженої нескінченної
площини з поверхневою густиною заряду
(Рис. 7):
|
(3.10) |
.З цього виразу можна зробити висновок, що поле однорідне і не залежить від відстані. Силові лінії спрямовані перпендикулярно до площини, а їх напрямок залежить від знаку заряду.
2
. Поле
двох нескінченних паралельних різнойменно
заряджених площин з поверхневою густиною
заряду
(Рис. 8):
|
(3.11) |
.Поле однорідне і зосереджене між площинами. Ззовні напруженість поля дорівнює нулю.
3. Поле об’ємно зарядженої кулі (заряд рівномірно розподілений по об’єму кулі):
|
(3.12) |
,
|
(3.13) |
,
,
,де Q – заряд кулі, R – радіус кулі, r – відстань точки від центру кулі. На Рис. 9 зображений графік залежності модуля напруженості поля від відстані r. Отже, для всього простору за межами кулі, починаючи від її поверхні, поле в цьому випадку нічим не відрізняється від поля точкового заряду, що містить у собі весь заряд кулі і знаходиться в її центрі.
4. Поле
рівномірно зарядженого нескінченного
циліндра з лінійною густиною заряду
(заряд одиниці довжини)
(Рис. 10):
|
(3.14) |
,
д
е
r
–
відстань точки від центру циліндра
(більша, ніж радіус циліндра). Таке саме
поле буде і в проміжку між двома
коаксіальними циліндрами, що мають
однакову за величиною і протилежну за
знаком лінійну густину заряду
(циліндричний конденсатор).