3.2. Метод экспоненциального сглаживания
Весьма часто в прогнозировании применяют метод экспоненциального сглаживания, при котором вводятся экспоненциальный коэффициент устаревания α, который лежит в интервале 0<<1 и определяет степень учета рассогласования между прогнозом и фактическим значением в предыдущий момент времени.
Значение искомого параметра для момента i+1 находится по формуле
Для медленно меняющихся временных рядов рекомендуется = 0,1, для более динамичных – = 0,3-0,5. Можно величину α приближенно определить по формуле
,
где k
– число наблюдений, входящих в интервал
сглаживания. Наиболее точным критерием
для определения оптимального значения
является минимизация суммы квадратов
отклонений прогноза от фактического
значения.
При использовании формулы (2.96) значения более старых точек тренда уменьшаются по экспоненте, что легко прослеживается на рис. 2.35.
На рис. 2.35 параметр j изменяется от 0 до k, при этом i изменяется от некоторого начального значения i при j=0 до некоторого более старого (конечного) значения ik при j=k.
Проследим изменение коэффициента при значении временного ряда в формуле (2.96) в различные предыдущие моменты времени в зависимости от коэффициента устаревания α.
(1-α)jα
i
Рис. 2.35. Экспоненциальное сглаживание
Таблица 2.7
Изменение коэффициента (1-α)jα при значении временного ряда
|
Коэффициент устаревания α |
Параметр j | ||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | |
|
Предшествующие моменты времени i-j | |||||||
|
i |
i-1 |
i-2 |
i-3 |
i-4 |
i-5 |
i-6 | |
|
0,8 |
0,8 |
0,16 |
0,032 |
0,0064 |
0,00128 |
0,000256 |
0,0000512 |
|
0,5 |
0,5 |
0,25 |
0,125 |
0,0625 |
0,03125 |
0,015625 |
0,0078125 |
|
0,2 |
0,2 |
0,16 |
0,128 |
0,1024 |
0,08192 |
0,016384 |
0,0032728 |
Из таблицы 2.7 видно, что с увеличением коэффициента устаревания α более старые значения временного ряда перестают играть какую-либо существенную роль в прогнозировании нового значения ряда в момент i+1.
3.3. Прогнозирование с использованием кривой насыщения
Некоторые экономические величины имеют пороговое значение, например, потребность в бытовой технике, физиологические пределы потребления, коэффициент использования оборудования.
В качестве сглаживающей кривой для таких величин удобно брать кривую насыщения (иначе ее называют логистической кривой) типа
Кривая с насыщением показана на рис. 2.36(1), где K – порог насыщения; α и β – параметры кривой; отношение – α/β определяет величину крутизны кривой для момента времени t. Участок кривой 0-tпер соответствует росту спроса; участок, лежащий правее абсциссы tпер, соответствует убыванию спроса.
Если продифференцировать кривую (2.97) по t, то получим кривую роста 2:
y
Kβ/4
1
K
K/2
2
tпер=-a/b
Рис. 2.36. Кривые насыщения и роста
Кривая роста симметрична относительно абсциссы точки перегиба кривой спроса.
Для определения координат точки перегиба нужно приравнять к нулю вторую производную (2.97).
Получаем уравнение
Отсюда (так как остальные члены уравнения не могут быть равны нулю) получаем:
