3. Методы решения задачи календарного планирования

Методы решения задач календарного планирования относятся к методам дискретной оптимизации и базируются на теории расписаний.

Методы дискретной оптимизации можно разбить на 2 группы:

• точные методы (метод Джонсона, метод ветвей и границ, градиентные методы и т.д.);

• приближенные эвристические методы (методы с использованием различных функций (правил) предпочтений, статистические методы, например, метод Монте-Карло и т.д.).

Использование точных методов позволяет решить данную задачу только для ограниченного числа партий деталей и групп оборудования, так как эта задача чрезвычайно сложна и многовариантна. Действительно, если n_s – количество партий деталей, обрабатываемых на s-ой группе оборудования, то можно составить n_s! вариантов загрузки данного оборудования, а для всех m групп оборудования число планов определяется формулой:

Так, при mn = 22  N=4; при 33  N=216; 44  N=331776; 55  N=2510⁹ и т.д. Однако число допустимых планов обычно несколько меньше, чем число возможных, вследствие ограничений по технологии и взаимосвязи загрузок оборудования.

В этих условиях точные методы, кроме самых простых случаев, когда их можно свести к задаче линейного, целочисленного линейного или квадратичного программирования, практических результатов не дают.

Необходимо учитывать также то, что задача календарного планирования является задачей с "размытым" экстремумом, т.е. есть большое число планов, мало отличающихся по значению целевой функции от оптимальных планов. Поэтому задача календарного планирования обычно решается приближенными методами чаще всего с использованием различных правил предпочтения, например, следующих. Детали для обработки на данной группе оборудования выбираются:

1. равномерно и случайно из числа деталей (партий деталей), стоящих в очереди (стохастическое правило предпочтения);

2. стоящими первыми в очереди;

3. с меньшей трудоемкостью (с наименьшей продолжительностью операции);

4. с наибольшим числом невыполненных операций (наименьшим числом выполненных операций);

5. общая длительность предстоящей обработки которых минимальна;

6. с наибольшей себестоимостью и т.п.

Следует отметить, что полученный в этом случае календарный план может быть оптимальным (или близким к нему) только случайно. Обычно задачу решают с различными правилами предпочтения, а затем, проведя сравнительные исследования, выбирают лучший вариант решения и лучшие для данной обстановки правила.

Лекция 2.4.2. Некоторые типовые задачи подсистемы оперативного управления основным производством

1. Задача Джонсона

Рассмотрим детерминированную задачу календарного планирования, в которой имеются только 2 станка, а все n деталей имеют одинаковые технологические режимы, а именно: вначале должны быть обработаны на 1-ом станке, а потом на 2-ом. Для решения этой задачи Джонсон предложил оригинальный алгоритм. Отметим, что если использовать метод прямого перебора, то при условии, что все детали обрабатываются в одинаковом порядке, существуют n! возможных вариантов плана.

Исходные данные: n – количество деталей (партий деталей), матрица трудоемкости T=||τ_ij||, i=1,2 j=1,...,n.

Требуется выбрать такой порядок обработки изделий, при котором суммарное время обработки деталей будет минимальным.

На переменные задачи наложены следующие ограничения:

1. время перехода от одного станка к другому незначительно и им можно пренебречь;

2. каждая обработка должна быть завершена прежде, чем начинается следующая.

Обозначим через t – полное время обработки всех n изделий на двух станках, т.е. время, которое пройдет от начала обработки 1-го изделия на 1-ом станке до конца обработки последнего изделия на 2-ом станке; а через τ_пj– время простоя 2-го станка между концом выполнения работы по обработке (j-1)-го изделия на 2-ом станке и началом обработки j-го изделия на нем (рис.2.17). Тогда

атак как

известна, то надлежит минимизировать

Алгоритм Джонсона включает следующие основные этапы.

1. Поиск наименьшего элемента. В матрице T ищется наименьший элемент τ_ijmin.

τ₁₁ τ₁₂ τ₁₃ τ₁₄

1 станок

τ₂₁ τ_п2 τ₂₂ τ_п3 τ₂₃ τ₂₄

2 станок

τ_п1

t

t^*

Рис. 2.17 Временная диаграмма обработки

2. Перестановка деталей. Определяется местонахождение наименьшего элемента. Если он относится к первому станку, то весь столбец j ставим на первое место в матрице расписания. Если ко второму, то ставим столбец j на последнее место календарного плана. При наличии равных минимальных элементов в обеих строках столбец с τ_1jmin ставится на 1-ое место, столбец с τ_2jmin – на последнее. Если же одинаковые минимальные элементы оказываются в 1-ой (или 2-ой) строке, то на первое (последнее) место ставится столбец, которому соответствует меньший элемент второй (первой) строки.

3. Вычеркивание из матрицы T перенесенного столбца и возвращение к шагу 1 и т.д., пока не будет исчерпан список всех деталей.

В результате в матрице G получим оптимальную последовательность обработки изделий и минимальное время простоя второго станка.

Внекоторых частных случаях алгоритм Джонсона применим и для трех станков. Для этого необходимо проверить соблюдение одного из следующих условий:

1.

2.

После этого составляется новая матрица T΄ для суммы (τ_1j+ τ_2j) вместо τ_1j или для суммы (τ_2j+τ_3j) вместо τ_2j и к ней применяется алгоритм Джонсона.