З

Визначити відстань від довільної точки простору d до площини α(∆авс) – загального положення

авдання 2

Покрокова інструкція для розв’язання задачі:

1. Для визначення відстані з точки D опускаємо перпендикуляр n на площину α(∆АВС) (D n α), тому що відстань від точки до площини визначається перпендикуляром, як найкоротша відстань.

2. Так як площина α(∆АВС) загального положення на проекціюється на площини проекцій з спотворенням, то треба побудувати в ній головні лінії – це горизонталь h (h₁, h₂ ) (синім кольором) та фронталь f (f₁, f₂) ( зеленим кольором).

3. Будуємо у проекції

4. бути паралельною Х₁₂. Знаходимо точки перетину площини α (∆А₂В₂С₂) фронтальну проекцію горизонталі h₂ (синім кольором) (рис. 50) (h₂ C₂C₁), вона повинна бути паралельною Х₁₂.

5. Знаходимо точки перетину площини α (∆А₂В₂С₂) з h₂ C₂ та 1₂.За вертикальною лінією сполучення 1₂1₁ та C₂C₁ визначаємо точки 1₁ (1₁ = 1₂1₁ ∩ А₁В₁). і C₁. З’єднавши їх отримуємо горизонтальну проекцію горизонталі ( h₁ ) (також синього кольору).

6. Далі будуємо у проекції площини α (∆А₁В₁С₁) горизонтальну проекцію фронталі f₁ (зеленим кольором) (рис. 50) (f₁ А₂А₁). вона повинна α (∆А₁В₁С₁) з f₁  А₁ та 2₁. За вертикальною лінією сполучення 2₁2₂ та А₁А₂ визначаємо точки 2₂ (2₂ = 2₁2₂ ∩ В₂С₂) і А₂.

7. Сполучаємо прямою точки А₂2₂. та отримуємо фронтальну проекцію фронталі (f₂) (також зеленого кольору).

8. З проекції точки D₁ проводимо проекцію лінії n₁ (жовтого кольору) перпендикулярної до h₁ (D₁ n₁ h₁) (рис. 50).

9. З проекції точки D₂ проводимо проекцію лінії n₂ (жовтого кольору) перпендикулярно до f₂ (D₂ n₂ f₂) (рис. 50).

10. Далі знаходимо точку К(К₁, К₂) - точку перетину перпендикуляра n з площиною α(∆АВС)  (K = n∩α).

11. З цієї мети припустимо, що крізь одно з проекцій перпендикуляру n пройде горизонтально – проекціююча площина δ (n∩ m ), яка у даному випадку перпендикулярна П₁.

12. На кресленні площина задається горизонтальною проекцією δ₁, що збігається з горизонтальною проекцією n₁ (δ₁ ≡ n₁).

13. Побудуємо лінію перетину m площин δ (n∩ m) з α(∆АВС) m = δ ∩ α.

14. На горизонтальній проекції лінія m₁ збігається з проекцією δ₁ і n₁ (n₁ ≡ δ₁ ≡ m₁).

15. Проекціями точок перетину α (∆А₁В₁С₁) з проекцію лінії n₁  3₁ = m₁∩B₁C₁, 4₁ = m₁∩A₁C₁.

16. За вертикальними лінії сполучення і визначаємо точки 3₂ ,4₂ (3₂ = 3₁3₂∩B₂C₂, 4₂ = 4₁4₂∩А₂C₂). Сполучаємо прямою лінією точки 3₂ ,4₂ і одержуємо проекцію лінії перетину на площині проекцій П₂ - m₂.

17. На фронтальній проекції α (∆А₂В₂С₂) знаходимо проекцію точки перетину ліній m₂ і n₂  (K₂ = m₂∩n₂). За вертикальною лінією сполучення знаходимо на перпендикулярі n₁проекцію точки К на П₁  К₁ (рис. 50).

18. Так як відрізок перпендикуляра DK займає загальне положення і ні на жодній проекції не відображається в натуральну величину виникає необхідність для визначення його натуральної величини способом прямокутного трикутника.

19. На горизонтальній проекції (D₁К₁), як на катеті, будуємо прямокутний трикутник D₁К₁D₀, у якого катет D₁D₀ дорівнює різниці висот точок D і К по осі Z₂₃. (Z_D – Zк = D₁D₀) (рис. 50).

20. Різницю координат ∆ Z визначаємо графічно на фронтальній проекції, на осі Z₂₃.

21. Гіпотенуза К₁D₀ цього трикутника становить дійсну довжину відрізка DК, яку проводимо червоним кольором (н.в. DK) (рис. 50).

Завдання 3

Побудувати проекції площини β (а∩b), яка проходить через точку D і паралельна площині α (∆АВС).

Покрокова інструкція для розв’язання задачі:

Ознакою паралельності двох площин є паралельність двох прямих, що перетинаються на одній площині α (∆АВС), до двох прямих, що перетинаються на іншій площині β (а∩b).

1. З цього приводу задаємо площину β - двома прямими a i b, які повинні перетинатися між собою у проекціях точки D.

2. Тому на кресленні крізь точку D₂ проводимо пряму а₂ паралельно А₂С₂ та пряму b₂ паралельно В₂С₂.

3. Крізь точку D₁ проводимо пряму а₁ паралельно А₁С₁, пряму b₁ паралельно В₁С₁.

4. На підставі цього можна зробити висновок, що так як у просторі пряма лінія а ║ АС , а пряма лінія b ║ ВС; при цьому прямі a i b утворюють площину β (а∩b), а прямі лінії АС та ВС також задають площину α(АС∩ ВС), то α (АС ∩ ВС)║β (а∩b).( рис. 50 рожевим кольором позначена площина β (а∩b).)

З А Д А Ч А 2

Таблиця 3 – Варіантна частина для самостійного виконання індивідуального завдання

№ вар	A			B			C			D			Кут нахилу до площини
	x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
0	10	10	40	40	80	70	80	30	10	70	20	80	П1
1	10	40	10	40	70	80	80	10	30	70	80	20	П2
2	20	40	10	50	70	80	90	10	30	30	10	70	П1
3	20	30	10	60	80	70	90	10	40	80	70	10	П2
4	10	10	40	40	80	70	80	30	10	20	70	10	П1
5	80	40	70	10	20	40	40	90	10	70	20	0	П2
6	80	40	20	50	10	90	10	70	40	20	0	20	П1
7	90	20	40	60	90	10	20	40	70	80	80	70	П2
8	80	70	40	40	10	90	10	40	20	20	70	80	П1
9	80	70	40	40	10	90	10	40	20	20	70	80	П2

З

За заданими координатами згідно індивідуальних варіантів таблиці 4, побудувати проекції точок A, B, C, D. Побудувати проекції площини α(∆ABC).

авдання 1

Покрокова інструкція для розв’язання задачі:

1. Викреслюємо ось Z₂₃ O₁₂₃ Y₁ - від правої вертикальної рамка на відстані - 20мм, а осі Х₁₂ на відстані - 100 мм зверху від рамки.

2. Як було наведено у попередніх інструкціях для розв’язання задач ( див. ЗАДАЧА 1) спочатку будуємо двох картинне креслення точок А, В, С,з цієї мети координати точок беремо з таблиці 3.

3. Отримуємо їх проекції на площинах проекцій П₁ та П₂.

4. Для побудови проекцій площини α(∆ABC), поєднуємо проекції точок, у межах площин проекцій. У площині проекцій П₁ це трикутник А₁В₁С₁ , а у площині проекцій П₂ це трикутник А₂В₂С₂.

З

Способом заміни площин проекцій визначити відстань від точки D до площини α(∆ABC), кут її нахилу до П₁. Визначити натуральну величину площини α (∆ABC).

авдання 2

Метрична характеристика пари точка і площина визначається властивістю: відстань від точки до площини проекціюється в натуральну величину, якщо площина перпендикулярна відносно площини проекцій.

Покрокова інструкція для розв’язання задачі:

Для визначення відстані від точки D до площини α(∆ABC), необхідно виконати проекціюювання цієї площини ще одну площину проекцій, наприклад, П₄, де вона буде їй перпендикулярна, тим самим замінити площину проекцій П₂ на нову площину проекцій П₄ . Так як у наведеному прикладі необхідно визначити величину кута нахилу площини α(∆ABC) до П₁, тому замінюється площина П₂.

1. Спочатку у проекціях площини α(∆ABC) – загального положення, проведемо головну лінію її – горизонталь h(рис. 50 синім кольором). Це може будь-яка пряма лінія, яка паралельна осі Х₁₂ та перетинати проекцію площини на П₂ – у двох точках.

2. У даному випадку це проекції точок С₂ та 1₂. Сполучаємо синім кольором їх, отримуємо – h₂.

3. Далі за вертикальними лініями сполучення отримуємо їхні проекції у площині проекцій П₁. С₁ та 1₁. Сполучаємо синім кольором їх – h₁, так як це натуральна величина горизонталі наводимо її ще й червоною лінією. (рис. 50)

4. На довільній відстані від горизонтальної проекції площини α (∆А₁В₁С₁) проведемо вісь s₁₄ (рис. 50 рожевим кольором) перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі h₁ (s₁₄ h₁).

5. Крізь горизонтальні проекції точок (A₁,B₁,C₁,D₁) проводимо лінії сполучення перпендикулярно до вісі s₁₄.Положення нової проекції точок визначається на основі правила: відстань від зміняної проекції точки на П₂ до зміняної осі Х₁₂ дорівнює відстані від нової проекції на П₄ до нової осі s₁₄

A₂A₁₂=A₁₄A₄; B₂B₁₂=B₁₄B₄; С₂С₁₂=С₁₄С₄; D₂D₁₂=D₁₄D₄

6. Площина α(∆ABC) проекціюється на площину П₄ у вигляді похилої прямої α₄.(А4В4С4).

7. Якщо крізь проекцію точки А₄ провести допоміжну лінію, паралельно вісі s₁₄ , то кут між цією лінією і проекцією похилої прямої лінії α₄ визначає кут нахилу площини α(∆ABC) до П₁.

8. Для знаходження відстані між точкою D і площиною α(∆ABC), крізь проекції точки на П₂  D₂ та на П₁ D₁ проводимо лінії сполучення, таким чином знаходимо проекцію точки D на додатковій площині проекцій П₄.

9. Якщо з отриманої проекції точки D₄ до α₄ провести перпендикуляр (жовтим кольором) - d₄, (D₄  d_{4 ┴} α₄), то отримаємо точку перетину ліній d₄ і α₄ (K₄= d₄∩α₄)

10. Відрізок D₄K₄ (жовтим кольором) визначає відстань від точки D до площини α(∆ABC).

11. Для того, щоб визначити натуральну величину площини α(∆ABC), треба виконати проекціюювання її ще на одну додаткову площину проекцій – П₅. На неї площина α(∆ABC) повинна відобразиться у натуральну величину бо вона буде проведена паралельно ній. Тому змінимо площину П₁ на нову площину проекцій П₅, яку проводимо паралельно площині α(∆ABC).

12. На довільній відстані від попередніх побудов, проводимо вісь s₄₅ (зеленим кольором) паралельно похилій прямій α₄. ( А4В4С4).

13. Крізь проекції точок A₄,B₄,C₄ проводимо лінії сполучення перпендикулярно до вісі s₄₅..

14. Положення нових проекцій точок визначаємо так:

A₁A₁₄=A₄₅A₅; B₁B₁₄=B₄₅B₅; C₁C₁₄=C₄₅C₅.

15. Отримані проекції точок A₅,B₅,C₅ поєднуємо трикутником. ∆ A₅ B₅ C₅ – це є натуральна величина відсіку площини α(∆ABC) , креслимо її червоним кольором (див. рис. 50 н.в. АВС).