Задача № 5

Данные о работе моторно-якорных подшипников приведены в табл. 5.1.

Определить параметры распределения и оценить вероятность безотказной работы подшипников в течение времени t=60∙10³ часов и t=100∙10³ часов.

5.1. Время безотказной работы моторно-якорных подшипников

Услов. номер подшип-ника	Время безотказ-ной раб.; τi – ч∙103	Услов. номер подшип-ника	Время безотказ-ной раб.; τi – ч∙103	Услов. номер подшип-ника	Время безотказ-ной раб.; τi – ч∙103	Услов. номер подшип-ника	Время безотказ-ной раб.; τi – ч∙103	Услов. номер подшип-ника	Время безотказ-ной раб.; τi – ч∙103
1	16	11	46	21	58	31	67	41	79,5
2	19,5	12	47	22	60,5	32	68	42	84,5
3	28	13	48	23	62	33	68,5	43	88
4	33,5	14	49,5	24	63	34	69	44	89,5
5	34,5	15	20	25	63	35	70	45	97
6	38	16	52	26	63,5	36	71,5	46	103
7	39,5	17	53	27	64,5	37	72	47	108,5
8	41	18	54,5	28	65	38	74,5	48	124,5
9	43	19	55	29	66	39	75,5	49	134,5
10	43,5	20	57	30	66	40	72	50	137

Примечание. Для выбора исходных данных по своему варианту к данным таблицы 5.1 необходимо прибавить сумму двух последних цифр шифра (студ. билета).

Например: шифр студента 421; время безотказной работы подшипника № 1 – 19∙10³ часов; подшипника № 2 – 22,5∙10³ часов и т. д.

Расчеты произвести исходя из того, что процесс изнашивания и отказов подшипников отвечает схеме накапливающихся повреждений.

Методические указания к решению задачи № 5

Как доказано практическими исследованиями схеме накапливающихся повреждений отвечает гамма-распределение и нормальное распределение времени безотказной работы элементов.

Плотность гамма-распределения имеет следующий вид:

f (T)= (5.1)

где r – число повреждений, необходимых для возникновения отказов;

Г (r) – гамма-функция, определяемая формулой

Г (r)= . (5.2)

В свою очередь, плотность нормального распределения описывается формулой:

f (T)= . (5.3)

В более общем виде формула (5.3) может быть представлена:

f (T)= , (5.4)

где с и σ – параметры нормального распределения.

Параметр с численно равен математическому ожиданию распределения, а параметр σ² равен его дисперсии, т. е.

M {τ}=c; (5.5)

D {τ}= σ². (5.6)

Для гамма-распределения

M {τ}= , (5.7)

D {τ}= . (5.8)

Параметры λ и r могут быть оценены на основе данных о времени безотказной работы.

Пример. Пусть имеются данные о времени безотказной работы N объектов τ₁ , τ₂, ….. τ_N.

1. Находим эмпирическое среднее время безотказной работы :

. (5.9)

2. Находим дисперсию времени безотказной работы:

s . (5.10)

3. Приравнивая =M {τ} и D {τ} =s , получаем соотношения, из которых можно найти λ и r.

; (5.11)

r= . (5.12)

Для нахождения вероятности безотказной работы в течение времени Т при целых r можно воспользоваться номограммой, приведенной в [2].

На вертикальной оси этой номограммы отложена вероятность безотказной работы, а по горизонтальной оси откладывается величина произведения λ∙Т. Каждая кривая номограммы отвечает своему значению r.

При решении этой задачи необходимо помнить, что переход от гамма-распределения к нормальному происходит, если отношение

, (5.13)

то есть, если r >12.

Алгоритм решения задачи № 5 может быть выражен следующей последовательностью операций.

1. Найти эмпирические среднее и дисперсию времени безотказной работы.

; (5.14)

. (5.15)

2. Определить опасность отказов λ и число повреждений r.

; (5.16)

r= .. (5.17)

3. Определить произведения λ∙T₁ и λ∙T₂.

4. По номограмме для определения вероятностей безотказной работы, взятой из источника [2], определить функцию R (T)=P(τ > T).

5. Используя нормальное распределение, записать:

c= ; (5.18)

σ= . (5.19)

6. Посчитать аргументы функции Лапласа.

X₁ = ; (5.20)

X₂= . (5.21)

7. По таблице функции Лапласа, взятой из того же источника [2], определить Ф₁ (X₁) и Ф₂ (X₂).

8. Записать вероятность безотказной работы при нормальном законе распределения в виде:

P(τ > T)=1 – Ф (X). (5.22)

То есть P(τ > 60)=1 – Ф (X₁); (5.23)

P(τ > 100)=1 – Ф (X₂). (5.24)