2. Методи розв’язування нелінійних рівнянь

Розв’язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою і самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад розв’язування нелінійних диференціальних рівнянь чи знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики й інформаційно-вимірювальної техніки. Задачі, що зводяться до розв’язування алґебраїчних і трансцендентних рівнянь, можна класифікувати за кількістю рівнянь і залежно від передбачуваного характеру і кількості розв’язків.

Перед тим як приступити до знаходження дійсних коренів, доцільно згадати дві теореми, одна з яких дозволяє відокремити корені, тобто встановити можливо найменший проміжок [α,β], у якому міститься один і тільки один корінь рівняння, а друга- оцінити ступінь наближення.

Метод половинного розподілу. У цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розташованих через рівні інтервали на осі х. Коли F(x_n) і F(x_n+1) мають протилежні знаки, знаходять і F(x_cp).

Якщо знак F(x_cp) збігається зі знаком F(x_n), то надалі замість F(x_n) використовується F(x_cp). Якщо ж F(x_cp) має знак, протилежний знаку F(x_n), тобто збігається зі знаком F(x_n+1), то на F(x_cp) заміняється це значення. Якщо F(x_cp) достатньо близько до нуля, то рахунок припиняється. Зазначимо, що в цьому й у наступних методах умовою припинення ітераційного процесу часто більш доцільно користуватися умовою:

|x_n+1 – x_n|<=ε, де ε – задана похибка перебування кореня.

Метод фальшивого становища (хорд). В основі цього методу лежить лінійна інтерполяція за 2 значеннями функції, що має протилежні знаки. При знаходженні кореня метод забезпечує більш швидку збіжність, ніж попередній. Визначаються значення функції в точках, розташованих на осі через рівні інтервали. Це робиться доти, поки F(x_n) і F(x_n+1) не будуть мати різних знаків. Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь х при значенні:

Далі визначають F(x) і порівнюють його з F(x_n) і F(x_n+1). Надалі користаються F(x^*) замість того значення, з яким воно збігається за знаком. Якщо F(x^*) сильно відрізняється від нуля, то вся процедура повторюється спочатку.

3. Методи обчислення визначеного інтеґрала

Визначений інтеґрал з боковими межами інтеґрування a і b можна трактувати як площу фігури, обмеженої ординатами a і b, віссю абсцис і графіком підінтеґральної функції f(x).

Звичайний визначений інтеграл, у якого відома його первісна F(x), обчислюється за формулою Ньютона – Лейбніца

.

Тому досить обчислити значення функції F(x).

Метод Сімпсона. Відрізок [a, b] розбивається на m рівних відрізків, у результаті одержуємо узагальнену формулу:

.

Вираз для залишкового члена показує, що формула Сімпсона правильна, навіть якщо f(x) – багаточлен третього ступеня. Алгоритм реалізації методу Сімпсона наступний.

1. Задаємо кількість відрізків m. Чим більша кількість відрізків задана, тим точніше буде обчислення інтеграла.

2. Визначаємо крок збільшення: .

3. Обчислюємо F=f(a) і задаємо I=F .

4. Збільшуємо x на крок збільшення h.

5. Обчислюємо F=f(х).

6. Перевіряємо умову, якщо обчислюється парний елемент суми, то I=I+4*F . Якщо непарний, то I=I+2*F (див. формулу Сімпсона).

7. Цикл повторюється, поки не будуть перелічені значення f(x) на всьому проміжку інтеґрування.

8. Далі x = b. Обчислюється F=f(x) і .

9. Виведення готових результатів.