Результаты моделирования:

1. Используя функцию norm, подсчитаем среднеквадратическое значение выхода этой системы при единичном белом шуме на входе:

std_t = norm (F) = 0.7071

Рассчитаем дисперсию выхода системы при единичном белом шуме на входе:

var_t = norm(F)^2 = 0.5000

2. Найдём полосу пропускания этой системы (в рад/с). Это частота, для которой амплитудная частотная характеристика уменьшается на 3 дБ (децибела) в сравнении с максимальным значением (составляет примерно 0,708 от максимума).

bw = bandwidth ( F ) = 0.9976

3. Найдём рекомендуемый максимальный интервал корреляции для моделирования по формуле :

tau = 2*pi/100/bw = 0.0630

4. Проведем моделирование данной задачи в Simulink.

Рисунок 1. Структурная схема

В результате получим массив данных out. В первой строке out содержится отсчеты времени, а во второй отсчеты сигнала. Найдём среднеквадратическое отклонение (СКВО) и дисперсию сигнала на выходе звена:

t = out(:,1);

y = out(:,2);

std_r=std ( y ) = 0.7028

var_r=var ( y ) = 0.4940

Вычислим относительную ошибку при определении СКВО с помощью моделирования:

e_std=abs(std_t-std_r)/std_t = 0.0060

e_var=abs(var_t-var_r)/var_t = 0.0120

По полученным результатам можно сделать вывод, что моделирование было проведено верно, так как относительные ошибки достаточно малы.

5. Оценка корреляционной функции производится по формуле:

, , (4)

где – интервал между измерениями.

Вычислим автокорреляционную функцию на выходе, используя функции MATLAB, и построим ее график. Сравним его с теоретической корреляционной функцией . А также построим сглаженную оценку корреляционной функции с помощью окна Хэмминга (формула 5):

. (5)

Текст программы:

R = xcorr(y)/length(y); %экспериментальная корреляционная функция

Rplus = R(floor(length(R)/2):end); %выделение к.ф. для положительных t

M = 200; %число точек для оценки к.ф.

t = t(1:M); Rplus = Rplus(1:M); %"обрезаем" массив отсчетов времени и к.ф.

R_teor = 0.5*exp(-abs(t)); %находим теоретическую к.ф.

hamm = 0.54 + 0.46*cos(pi*t/max(t)); %окно Хэмминга

Rhamm = Rplus .* hamm; %к.ф. с окном Хэмминга

figure(1); %формируем отдельное окно для вывода графиков

plot(t, Rplus,'LineWidth',2),xlabel('t'),ylabel('R')

hold on, plot(t,R_teor,':g','LineWidth',2)

plot(t, Rhamm,':r','LineWidth',2)

legend('Rplus','R_teor','Rhamm')

hold off

xlim([0 max(t)]);

Рисунок 2. График экспериментальной корреляционной функции (Rplus), теоретической к.ф.(Rteor) и сглаженной (Rhamm)

По рисунку 2 видно, что график к.ф. полученной экспериментально почти совпадает с графиком теоретической, но с увеличением времени наблюдаются выбросы. Для сглаживания к.ф. используется окно Хэмминга. Окно (весовая функция) – вещественная неотрицательная последовательность, максимальные в центре и монотонно спадающие к границам, что ослабляет влияние разрывов при периодическом продолжении последовательности.

6. Рассмотрим графики, полученные с использованием блоков Power Spectral Density (спектральная плотность) и Averaging Power Spectral Density (усредненная спектральная плотность) в Simulink.

Рисунок 3. График усредненной спектральной плотности

Рисунок 4. График спектральной плотности

График усредненной с.п. является более гладким.

7. Построим спектральную плотность сигнала для частот от 0 до 5 рад/с. Сравним ее с теоретической спектральной плотностью . Для оценки спектральной плотности используем формулу:

. (6)

Для оценки спектральной плотности с учетом окна применяют формулу, аналогичную Error: Reference source not found:

.

(7)

Для оценки спектра сигнала по отсчетам нужно выполнить следующие действия:

1. с помощью БПФ (функция fft в MATLAB) найти массив ;

Для оценки спектра в теории обработки сигналов обычно используют сетку частот (в герцах):

(8)

с шагом . В теории управления принято строить спектры как функции угловой частоты (в радианах в секунду), которая получается из «обычной» частоты умножением на :

. (9)

Для частоты получаем

,

2. (10)

где через обозначена сумма, называемая дискретным преобразованием Фурье (ДПФ):

. (11)

2. взяв первую половину этого массива, рассчитать соответствующие значения  для частот, не превышающих частоту Найквиста  ; Согласно теореме Котельникова-Шеннона, по дискретным измерениям с периодом можно восстановить частотные свойства сигнала только до частоты (или до соответствующей угловой частоты , которая называется частотой Найквиcта). Поэтому только оценка спектра на частотах дает нам практически полезную информацию.

3. для каждой частоты найти оценку спектральной плотности мощности по формуле:

(12)