Критерий Сэвиджа.
Найдем максимум во всех столбцах, затем составим матрицу сожалений (то, что недополучили). Для этого в каждом столбце исходной матрицы нужно найти максимальное значение. Получим: {2;6;4;6}. После этого вычитаем из максимального значения значение элемента матрицы. Полученную разность записываем в качестве элемента матрицы сожалений.
|
|
|
|
|
Max |
|
0 |
5 |
3 |
6 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
4 |
0 |
5 |
5 |
|
0 |
5 |
3 |
5 |
5 |
|
|
|
|
Min |
1 |
– матрица
сожалений.
Рекомендуется принимать решение, при котором недополучили наименьшее значение.
Составив
матрицу сожалений, найдем в каждой
строке максимальное значение. Из
полученных значений выбираем минимальное:
min{6,1,5,5}=1.
Минимальное значение соответствует
решению
,
следовательно, Статистику рекомендуется
строить электростанции типа
Вывод: ЛПР рекомендуется строить приплотинные электростанции согласно критерию Сэвиджа.
Задание 2. Составление матричной игры.
Фермер может засеять свое поле четырьмя сортами пшеницы. Затраты на все семена, а также на обработку почвы одинаковы. Год может быть засушливым, нормальным и дождливым. Известны урожайности культур в зависимости от погоды и цена центнера для каждого сорта. Составить матрицу выигрышей фермера и определить его оптимальную стратегию.
Погода |
Урожайность пшеницы в центнерах |
|||
П-1 |
П-2 |
П-3 |
П-4 |
|
Сухая |
20 |
8 |
0 |
1 |
Нормальная |
9 |
13 |
7,5 |
6,5 |
Дождливая |
12 |
7 |
10 |
9 |
Цена (у.е./ц) |
8 |
10 |
12 |
12 |
Решение.
Возможные
состояния Природы:
.
Возможные
действия Статистика:
.
Для
определения выигрыша умножим урожайность
на цену одного центнера. Получим матрицу
выигрыша фермера
.
Т.е. элементы матрицы показывают выигрыш
фермера, если он принял решение
,
а природа оказалась в состоянии
.
|
|
|
|
|
160 |
72 |
96 |
|
80 |
130 |
70 |
|
0 |
90 |
120 |
|
12 |
78 |
108 |
=
Для определения оптимальной стратегии найдем верхнее и нижнее значение игры.
|
|
|
|
min |
|
160 |
72 |
96 |
72 |
|
80 |
130 |
70 |
70 |
|
0 |
90 |
120 |
0 |
|
12 |
78 |
108 |
12 |
max |
160 |
130 |
120 |
|
=
Верхнее значение игры больше нижнего, значит, ситуации равновесия нет. Следовательно, решение нужно искать в смешанных стратегиях.
Составим пару взаимно двойственных задач. Т.к. значение игры лежит в [72; 120], то оно положительно.
Для
решения задач используем надстройку
MS
Excel
«Поиск решения».
Алгоритм: создаем
ячейки, в которых будут записаны
переменные. Устанавливаем начальные
значения. Для каждой функции записываем
ограничения. Целевая функция записывается
как сумма переменных x
для функции F
и y
для функции G.
Значение игры равно числу, обратному
значению целевой функции. Элементы
вектора оптимальной стратегии первого
игрока равны:
,
второго игрока -
где
– значение игры.
Получили, что
оптимальная стратегия фермера
115/263;
80/263; 68/263; 0), т.е. ему рекомендуется с
вероятностью 115/623 сажать первый сорт
пшеницы, с вероятностью 80/263 сажать
второй сорт пшеницы, с вероятностью
68/263 сажать третий сорт пшеницы. Четвертый
сорт сажать не рекомендуется. Тогда его
выигрыш составит 94,29. В случае отклонения
от оптимальной стратегии его выигрыш
не увеличится.
Оптимальная стратегия природы 31/263; 304/789; 392/789), т.е. состояние природы будет «сухая» с вероятностью 31/263, нормальная с вероятностью 304/789 и дождливая с вероятностью 392/789.
Задание 3. Найти верхнее и нижнее значение матричной игры с матрицей выигрыша А. Дать рекомендации поведения игроков и указать их выигрыши.
А=