- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение.
- •Решение.
- •Составим двойственную задачу.
- •Решим задачу методом северо-западного угла. Проверим, является ли транспортная задача закрытой.
- •Теперь искомый элемент равен 3. Минимальное значение равно 30. Вычитаем из запасов и заявок 30. Получаем:
- •Повторяем итерации до получения начального плана. Минимальное значение равно 70 для элемента 6.
Повторяем итерации до получения начального плана. Минимальное значение равно 70 для элемента 6.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6 |
|
|
|
|
0 |
A2 |
3 |
6 |
|
|
|
0 |
A3 |
|
6 |
7 |
8 |
7 |
150 |
A4 |
|
5 |
5 |
7 |
8 |
150 |
A5 |
|
7 |
7 |
8 |
6 |
200 |
bi |
0 |
30 |
140 |
160 |
170 |
|
Минимальное значение равно 30 для элемента 6.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6 |
|
|
|
|
0 |
A2 |
3 |
6 |
|
|
|
0 |
A3 |
|
6 |
7 |
8 |
7 |
120 |
A4 |
|
|
5 |
7 |
8 |
150 |
A5 |
|
|
7 |
8 |
6 |
200 |
bi |
0 |
0 |
140 |
160 |
170 |
|
Минимальное значение равно 120 для элемента 7.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6 |
|
|
|
|
0 |
A2 |
3 |
6 |
|
|
|
0 |
A3 |
|
6 |
7 |
|
|
0 |
A4 |
|
|
5 |
7 |
8 |
150 |
A5 |
|
|
7 |
8 |
6 |
200 |
bi |
0 |
|
20 |
160 |
170 |
|
Минимальное значение равно 20 для элемента 5.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6 |
|
|
|
|
0 |
A2 |
3 |
6 |
|
|
|
0 |
A3 |
|
6 |
7 |
|
|
0 |
A4 |
|
|
5 |
7 |
8 |
130 |
A5 |
|
|
|
8 |
6 |
200 |
bi |
0 |
|
0 |
160 |
170 |
|
Минимальное значение равно 130 для элемента 7.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6 |
|
|
|
|
0 |
A2 |
3 |
6 |
|
|
|
0 |
A3 |
|
6 |
7 |
|
|
0 |
A4 |
|
|
5 |
7 |
|
0 |
A5 |
|
|
|
8 |
6 |
200 |
bi |
0 |
|
0 |
30 |
170 |
|
Минимальное значение равно 30 для элемента 8. Получаем:
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6 |
|
|
|
|
0 |
A2 |
3 |
6 |
|
|
|
0 |
A3 |
|
6 |
7 |
|
|
0 |
A4 |
|
|
5 |
7 |
|
0 |
A5 |
|
|
|
8 |
6 |
170 |
bi |
0 |
|
0 |
0 |
170 |
|
Получили начальный план:
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6[50] |
|
|
|
|
50 |
A2 |
3[30] |
6[70] |
|
|
|
100 |
A3 |
|
6[30] |
7[120] |
|
|
150 |
A4 |
|
|
5[20] |
7[130] |
|
150 |
A5 |
|
|
|
8[30] |
6[170] |
170 |
bi |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Число занятых клеток равно 9. Число m+n-1=5+5-1=9, следовательно, план является невырожденным. Стоимость начального плана составляет 4100.
Найдем оптимальный план методом потенциалов. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 6; 0 + v1 = 6; v1 = 6 u2 + v1 = 3; 6 + u2 = 3; u2 = -3 u2 + v2 = 6; -3 + v2 = 6; v2 = 9 u3 + v2 = 6; 9 + u3 = 6; u3 = -3 u3 + v3 = 7; -3 + v3 = 7; v3 = 10 u4 + v3 = 5; 10 + u4 = 5; u4 = -5 u4 + v4 = 7; -5 + v4 = 7; v4 = 12 u5 + v4 = 8; 12 + u5 = 8; u5 = -4 u5 + v5 = 6; -4 + v5 = 6; v5 = 10
|
v1=6 |
v2=9 |
v3=10 |
v4=12 |
v5=10 |
u1=0 |
6[50] |
6 |
8 |
9 |
8 |
u2=-3 |
3[30] |
6[70] |
8 |
8 |
5 |
u3=-3 |
4 |
6[30] |
7[120] |
8 |
7 |
u4=-5 |
5 |
5 |
5[20] |
7[130] |
8 |
u5=-4 |
5 |
7 |
7 |
8[30] |
6[170] |
Опорный план не является оптимальным, так как существуют свободные клетки, для которых ui + vj > cij (1;2): 0 + 9 > 6; ∆12 = 0 + 9 - 6 = 3 (1;3): 0 + 10 > 8; ∆13 = 0 + 10 - 8 = 2 (1;4): 0 + 12 > 9; ∆14 = 0 + 12 - 9 = 3 (1;5): 0 + 10 > 8; ∆15 = 0 + 10 - 8 = 2 (2;4): -3 + 12 > 8; ∆24 = -3 + 12 - 8 = 1 (2;5): -3 + 10 > 5; ∆25 = -3 + 10 - 5 = 2 (3;4): -3 + 12 > 8; ∆34 = -3 + 12 - 8 = 1 max(3,2,3,2,1,2,1) = 3
Выбираем свободную клетку (1;2). Поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
1 |
6[50][-] |
6[+] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3[30][+] |
6[70][-] |
8 |
8 |
5 |
100 |
3 |
4 |
6[30] |
7[120] |
8 |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[20] |
7[130] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[30] |
6[170] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 50. Прибавляем 50 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 50 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
1 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3[80] |
6[20] |
8 |
8 |
5 |
100 |
3 |
4 |
6[30] |
7[120] |
8 |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[20] |
7[130] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[30] |
6[170] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Проверим оптимальность опорного плана.
u1 + v2 = 6; 0 + v2 = 6; v2 = 6 u2 + v2 = 6; 6 + u2 = 6; u2 = 0 u2 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3 u3 + v2 = 6; 6 + u3 = 6; u3 = 0 u3 + v3 = 7; 0 + v3 = 7; v3 = 7 u4 + v3 = 5; 7 + u4 = 5; u4 = -2 u4 + v4 = 7; -2 + v4 = 7; v4 = 9 u5 + v4 = 8; 9 + u5 = 8; u5 = -1 u5 + v5 = 6; -1 + v5 = 6; v5 = 7
|
v1=3 |
v2=6 |
v3=7 |
v4=9 |
v5=7 |
u1=0 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
u2=0 |
3[80] |
6[20] |
8 |
8 |
5 |
u3=0 |
4 |
6[30] |
7[120] |
8 |
7 |
u4=-2 |
5 |
5 |
5[20] |
7[130] |
8 |
u5=-1 |
5 |
7 |
7 |
8[30] |
6[170] |
Опорный план не является оптимальным, так как существуют свободные клетки, для которых ui + vj > cij (2;4): 0 + 9 > 8; ∆24 = 0 + 9 - 8 = 1 (2;5): 0 + 7 > 5; ∆25 = 0 + 7 - 5 = 2 (3;4): 0 + 9 > 8; ∆34 = 0 + 9 - 8 = 1 max(1,2,1) = 2. Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;5): 5.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
1 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3[80] |
6[20][-] |
8 |
8 |
5[+] |
100 |
3 |
4 |
6[30][+] |
7[120][-] |
8 |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[20][+] |
7[130][-] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[30][+] |
6[170][-] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Составим новый опорный план.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
1 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3[80] |
6 |
8 |
8 |
5[20] |
100 |
3 |
4 |
6[50] |
7[100] |
8 |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[40] |
7[110] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[50] |
6[150] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
u1 + v2 = 6; 0 + v2 = 6; v2 = 6 u3 + v2 = 6; 6 + u3 = 6; u3 = 0 u3 + v3 = 7; 0 + v3 = 7; v3 = 7 u4 + v3 = 5; 7 + u4 = 5; u4 = -2 u4 + v4 = 7; -2 + v4 = 7; v4 = 9 u5 + v4 = 8; 9 + u5 = 8; u5 = -1 u5 + v5 = 6; -1 + v5 = 6; v5 = 7 u2 + v5 = 5; 7 + u2 = 5; u2 = -2 u2 + v1 = 3; -2 + v1 = 3; v1 = 5
|
v1=5 |
v2=6 |
v3=7 |
v4=9 |
v5=7 |
u1=0 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
u2=-2 |
3[80] |
6 |
8 |
8 |
5[20] |
u3=0 |
4 |
6[50] |
7[100] |
8 |
7 |
u4=-2 |
5 |
5 |
5[40] |
7[110] |
8 |
u5=-1 |
5 |
7 |
7 |
8[50] |
6[150] |
Опорный план не является оптимальным, так как существуют свободные клетки, для которых ui + vj > cij (3;1): 0 + 5 > 4; ∆31 = 0 + 5 - 4 = 1 (3;4): 0 + 9 > 8; ∆34 = 0 + 9 - 8 = 1 max(1,1) = 1. Выбираем (3;1): 4
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
1 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3[80][-] |
6 |
8 |
8 |
5[20][+] |
100 |
3 |
4[+] |
6[50] |
7[100][-] |
8 |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[40][+] |
7[110][-] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[50][+] |
6[150][-] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Получим новый опорный план.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
1 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3 |
6 |
8 |
8 |
5[100] |
100 |
3 |
4[80] |
6[50] |
7[20] |
8 |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[120] |
7[30] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[130] |
6[70] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
u1 + v2 = 6; 0 + v2 = 6; v2 = 6 u3 + v2 = 6; 6 + u3 = 6; u3 = 0 u3 + v1 = 4; 0 + v1 = 4; v1 = 4 u3 + v3 = 7; 0 + v3 = 7; v3 = 7 u4 + v3 = 5; 7 + u4 = 5; u4 = -2 u4 + v4 = 7; -2 + v4 = 7; v4 = 9 u5 + v4 = 8; 9 + u5 = 8; u5 = -1 u5 + v5 = 6; -1 + v5 = 6; v5 = 7 u2 + v5 = 5; 7 + u2 = 5; u2 = -2
|
v1=4 |
v2=6 |
v3=7 |
v4=9 |
v5=7 |
u1=0 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
u2=-2 |
3 |
6 |
8 |
8 |
5[100] |
u3=0 |
4[80] |
6[50] |
7[20] |
8 |
7 |
u4=-2 |
5 |
5 |
5[120] |
7[30] |
8 |
u5=-1 |
5 |
7 |
7 |
8[130] |
6[70] |
Опорный план не является оптимальным, так как существуют свободные клетки, для которых ui + vj > cij (3;4): 0 + 9 > 8; ∆34 = 0 + 9 - 8 = 1. Выбираем (3;4): 8.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
1 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3 |
6 |
8 |
8 |
5[100] |
100 |
3 |
4[80] |
6[50] |
7[20][-] |
8[+] |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[120][+] |
7[30][-] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[130] |
6[70] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Получим новый опорный план.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Запасы |
|
1 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
50 |
2 |
3 |
6 |
8 |
8 |
5[100] |
100 |
3 |
4[80] |
6[50] |
7 |
8[20] |
7 |
150 |
4 |
5 |
5 |
5[140] |
7[10] |
8 |
150 |
5 |
5 |
7 |
7 |
8[130] |
6[70] |
200 |
Потребности |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
u1 + v2 = 6; 0 + v2 = 6; v2 = 6 u3 + v2 = 6; 6 + u3 = 6; u3 = 0 u3 + v1 = 4; 0 + v1 = 4; v1 = 4 u3 + v4 = 8; 0 + v4 = 8; v4 = 8 u4 + v4 = 7; 8 + u4 = 7; u4 = -1 u4 + v3 = 5; -1 + v3 = 5; v3 = 6 u5 + v4 = 8; 8 + u5 = 8; u5 = 0 u5 + v5 = 6; 0 + v5 = 6; v5 = 6 u2 + v5 = 5; 6 + u2 = 5; u2 = -1
|
v1=4 |
v2=6 |
v3=6 |
v4=8 |
v5=6 |
u1=0 |
6 |
6[50] |
8 |
9 |
8 |
u2=-1 |
3 |
6 |
8 |
8 |
5[100] |
u3=0 |
4[80] |
6[50] |
7 |
8[20] |
7 |
u4=-1 |
5 |
5 |
5[140] |
7[10] |
8 |
u5=0 |
5 |
7 |
7 |
8[130] |
6[70] |
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij. Минимальные затраты составят 3810.
Ответ: оптимальный план составил: из пункта А1 в пункт В2 50 ед., из А2 в пункт В5 100 ед., из пункта А3 в пункт В1 80 ед., в пункт В2 50 ед., в пункт В4 20 ед., из пункта А4 в пункт В3 140 ед., в пункт В4 10 ед., из пункта А5 в пункт В4 130 ед., в пункт В5 70 ед.
Решим задачу методом минимального элемента. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
6 |
6 |
8 |
9 |
8 |
50 |
A2 |
3 |
6 |
8 |
8 |
5 |
100 |
A3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
7 |
150 |
A4 |
5 |
5 |
5 |
7 |
8 |
150 |
A5 |
5 |
7 |
7 |
8 |
6 |
200 |
bj |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Искомый элемент равен 3. Его запасы составляют 150, а заявка 80. Вычитаем 80.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
6 |
8 |
9 |
8 |
50 |
A2 |
3 |
6 |
8 |
8 |
5 |
20 |
A3 |
|
6 |
7 |
8 |
7 |
150 |
A4 |
|
5 |
5 |
7 |
8 |
150 |
A5 |
|
7 |
7 |
8 |
6 |
200 |
bj |
0 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Искомый элемент равен 5. Минимальное значение равно 20.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
6 |
8 |
9 |
8 |
50 |
A2 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
A3 |
|
6 |
7 |
8 |
7 |
150 |
A4 |
|
5 |
5 |
7 |
8 |
150 |
A5 |
|
7 |
7 |
8 |
6 |
200 |
bj |
0 |
100 |
140 |
160 |
150 |
|
Искомый элемент равен 5. Минимальное значение 100.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
|
8 |
9 |
8 |
50 |
A2 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
A3 |
|
|
7 |
8 |
7 |
150 |
A4 |
|
5 |
5 |
7 |
8 |
50 |
A5 |
|
|
7 |
8 |
6 |
200 |
bj |
0 |
0 |
140 |
160 |
150 |
|
Искомый элемент равен 5. Минимальное значение 50.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
|
8 |
9 |
8 |
50 |
A2 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
A3 |
|
|
7 |
8 |
7 |
150 |
A4 |
|
5 |
5 |
|
|
0 |
A5 |
|
|
7 |
8 |
6 |
200 |
bj |
0 |
0 |
90 |
160 |
150 |
|
Искомый элемент равен 6. Минимальное значение равно 150.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
|
8 |
9 |
|
50 |
A2 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
A3 |
|
|
7 |
8 |
|
150 |
A4 |
|
5 |
5 |
|
|
0 |
A5 |
|
|
7 |
8 |
6 |
50 |
bj |
0 |
0 |
90 |
160 |
0 |
|
Искомый элемент равен 7. Минимальное значение 90.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
|
|
9 |
|
50 |
A2 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
A3 |
|
|
7 |
8 |
|
60 |
A4 |
|
5 |
5 |
|
|
0 |
A5 |
|
|
|
8 |
6 |
50 |
bj |
0 |
0 |
0 |
160 |
0 |
|
Искомый элемент равен 8. Минимальное значение 60.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
|
|
9 |
|
50 |
A2 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
A3 |
|
|
7 |
8 |
|
0 |
A4 |
|
5 |
5 |
|
|
0 |
A5 |
|
|
|
8 |
6 |
50 |
bj |
0 |
0 |
0 |
100 |
0 |
|
Искомый элемент равен 8. Минимальное значение равно 50.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
|
|
9 |
|
50 |
A2 |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
A3 |
|
|
7 |
8 |
|
0 |
A4 |
|
5 |
5 |
|
|
0 |
A5 |
|
|
|
8 |
6 |
0 |
bj |
0 |
0 |
0 |
50 |
0 |
|
Получили начальный план методом минимального элемента.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
ai |
A1 |
|
|
|
9[50] |
|
50 |
A2 |
3[80] |
|
|
|
5[20] |
100 |
A3 |
|
|
7[90] |
8[60] |
|
150 |
A4 |
|
5[100] |
5[50] |
|
|
150 |
A5 |
|
|
|
8[50] |
6[150] |
200 |
bj |
80 |
100 |
140 |
160 |
170 |
|
Опорный план является невырожденным. Значение целевой функции равно 3950.
Ответ: методом северо-западного угла: F=4100 у.е.;
методом минимального элемента: F=3950 у.е.;
оптимальная стоимость перевозок по методу потенциалов: F=3810 у.е.