Решение
Составим математическую модель:
В
качестве переменных будем использовать
количество выпускаемых изделий каждого
вида:
.
Ограничения (с учетом того, что 10 ч = 600 мин).
Целевая функция:
Найдем решение с помощью функции «Поиск решения» MS Excel.
Ответ: Оптимальные объемы производства: 55 шт. изделий первого вида и 10 шт. изделий второго вида. При этом прибыль будет максимальной и составит 140$.
Задание
5. Дана
задача линейного программирования, в
которой
.
a. Записать задачу в канонической и стандартной формах.
b. Записать каноническую и стандартную задачу в матричном виде.
c. Решить задачу линейного программирования геометрически.
d. Решить задачу линейного программирования сиплекс-методом.
e. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.
f
=
Решение.
Приводим исходную задачу к канонической форме. При этом должны выполняться следующие правила: ограничения записываются в виде равенств; константы в правой части ограничений положительны; переменные задачи должны быть неотрицательны. Получаем:
min f =
, 
, 
,
,
Приводим исходную задачу к стандартной форме. При этом должны выполняться следующие правила: все ограничения имеют одинаковые знаки; переменные задачи должны быть неотрицательны; константы в правых частях ограничений могут быть любого знака. Получаем:
f =
Запишем полученные задачи в матричной форме.
Для канонической задачи:
=
Для стандартной задачи:
Решим исходную задачу графически.
С
На
графике:
–
целевая функция;
Функции
ограничений: 
В точке С целевая функция достигает максимума в области допустимых значений. Найдем координаты точки С, решив систему:
Получим:
,
=-13
Ответ: функция достигает минимального значения в точке (3,2), экстремальное значение составило -13.
Решим исходную задачу симплекс-методом.
Каноническую
задачу запишем в симплекс-таблицу.
Базисными переменными являются
Базисные переменные |
Свободный член |
x1 |
x2 |
y1 |
y2 |
y3 |
y1 |
9 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
y2 |
8 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
y3 |
8 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
f(X) |
0 |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Т.к. в строке целевой функции стоят положительные элементы, план не является оптимальным. Преобразуем симплекс-таблицу, выделив главные строку и столбец.
Базисные переменные |
Свободный член |
x1 |
x2 |
y1 |
y2 |
y3 |
y1 |
9 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
y2 |
8 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
y3 |
8 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
f(X) |
0 |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Разделим элементы главной строки на главный элемент, стоящий на пересечении главной строки и главного столбца.
Базисные переменные |
Свободный член |
x1 |
x2 |
y1 |
y2 |
y3 |
y1 |
9 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
y2 |
8 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
y3 |
4 |
1 |
0,5 |
0 |
0 |
0,5 |
f(X) |
0 |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Составим новую симплекс-таблицу, используя «правило трех перпендикуляров».
Базисные переменные |
Свободный член |
x1 |
x2 |
y1 |
y2 |
y3 |
y1 |
5 |
0 |
2,5 |
1 |
0 |
-0,5 |
y2 |
4 |
0 |
1,5 |
0 |
1 |
-0,5 |
x1 |
4 |
1 |
0,5 |
0 |
0 |
0,5 |
f(X) |
-12 |
0 |
0,5 |
0 |
0 |
-1,5 |
В строке целевой функции имеется положительный элемент, переходим к следующей итерации. Получаем:
Базисные переменные |
Свободный член |
x1 |
x2 |
y1 |
y2 |
y3 |
x2 |
2 |
0 |
1 |
0,4 |
0 |
-0,2 |
y2 |
1 |
0 |
0 |
-0,6 |
1 |
-0,2 |
x1 |
3 |
1 |
0 |
-0,2 |
0 |
0,6 |
f(X) |
-13 |
0 |
0 |
-0,2 |
0 |
-1,4 |
Строка целевой функции не содержит отрицательных элементов, значит, план является оптимальным.
Ответ: функция достигает минимального значения в точке (3,2), экстремальное значение составило -13.
Составим двойственную задачу. Правила составления двойственной задачи: каждое ограничение прямой задачи порождает переменную двойственной задачи; каждая переменная прямой задачи порождает ограничение двойственной; константы, определяющие правые части ограничений, становятся коэффициентами целевой функции; коэффициенты целевой функции прямой задачи становятся константами правых частей ограничений двойственной; матрица коэффициентов двойственной задачи – это транспонированная матрица коэффициентов прямой задачи. Получаем:
Для решения двойственной задачи используем последнюю итерацию прямой задачи. Оптимальный базис дают переменные x2, y2, x1. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1. Составим матрицу А из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.
А=
Найдем обратную матрицу:
Тогда Y = C*A-1
Gmax=-13
Получили оптимальный план двойственной задачи: функция G достигает максимума, равного -13, при y1=0.2; y2=0; y3=-1.4.
Задание
6.
Дана
задача линейного программирования, в
которой
,
.
a. Записать задачу в канонической и стандартной формах.
b. Записать каноническую и стандартную задачу в матричном виде.
с. Решить задачу линейного программирования сиплекс-методом.
d. Составить двойственную задачу к первоначальной задаче и найти ее решение.
