9.1. Теоретичні відомості

Основні поняття. Робота комбінаційних схем з K входами і n виходами описується сукупністю n функцій K аргументів. При незалежній мінімізації цих функцій загальна схема містить n відокремлених одна від одної схем. Загальну схему можна скоротити, використовуючи багаторазово вирази, що повторюються в окремих структурних формулах. Сумісна мінімізація формул заснована на сумісній функціональній їх декомпозиції. В найпростіших випадках загальні вирази в окремих формулах легко знайти безпосереднім порівнянням.

Коли, наприклад, робота схеми описується функціями:

то, записуючи,

загальна схема зменшиться з 15 до 10 елементів.

Ідея мінімізації схем з багатьма виходами полягає в отриманні таких виразів для сукупності ФП, в яких оптимально використовуються члени, спільні для кількох функцій. Мінімальною повинна бути сукупність ФП у цілому, а вирази для окремих функцій при цьому можуть не бути мінімальними.

Аналітичній спосіб сумісної мінімізації ДНФ функцій. Сумісна мінімізація сукупності функцій у нормальній формі проводиться у три етапи.

На першому етапі знаходять прості імліканти функцій і усіх можливих добутків функцій

Найпростіші імпліканти добутку функцій є імпліканти, спільні для кожної функції , які входять у добуток.

На другому етапі за допомогою імплікантної матриці відшукуються найпростіші формули для представлення функцій імплікантами. В імплікантну матрицю заносять усі отримані найпростіші імпліканти і усі коституенти функцій сукупності; тому що багато конституент є спільними для декількох функцій Поглинання конституент імпликантами відмічається у підстовпчиках знаками *. Після заповнення матриці вибирається система імплікант, яка поглинає усі конституенти усіх функцій і при тому містить мінімальну кількість літер і членів. На третьому етапі отримані для окремих функцій вирази переглядаються, щоб виявити можливість подальшого спрощення сукупності функцій об’єднанням окремих імплікант у кожній функції.

Графічний спосіб спільної мінімізації ДНФ. При невеликої кількості змінних зручніше використовувати графічний спосіб спільної мінімізації функцій. Функції f₁, f₂, f₃ задані діаграмами Вейча (рис. 9.1 – рис. 9.3).

Рис. 9.1 Рис. 9.2 Рис. 9.3

Рис. 9.4. f₁ v f₂ v f₃ Рис. 9.5

Побудуємо загальну діаграму для функцій f₁ v f₂ v f₃ (рис. 9.4). На цій діаграмі цифрами 1, 2, 3 зображені місця конституент функцій f₁, f₂, f₃.

По загальній діаграмі відшукуються найпростіші імпліканти функцій і їх добутки. У першу чергу слід виявити усі найпростіші імпліканти, що накривають одиниці тільки однієї функції (рис. 9.5 – імпліканта 1 для функції f₃). При їх виявленні імпліканти наносяться на діаграми функцій f₁, f₂, f₃. Далі одержуємо імпліканти для усіх можливих добутків функцій:

f₃. –1; f₂, f₃.– 2; f₁, f₃ – 3; f₁, f₂,– 4; f₁, f₂, f₃ –5 ; f₁, f₃ – 6 (рис. 9.5).

Імпліканти добутків функцій повинні по можливості не накривати раніш отримані імпліканти. Однак, головні вимоги при цьому – це накриття максимального числа одиниць імплікантами максимальної площі. Постійне порівнювання спільної діаграми з вхідними, на які наносяться імпліканти, дозволяє швидше виявити потрібні конфігурації імплікант. Система імплікант 1 – 6 накриває усі конституенти усіх функцій f₁, f₂, f₃, які беруться окремо.

Заключний етап синтезу – виявлення можливостей скорочення функцій об’єднанням окремих імплікант в кожній функції. Скорочення функції буде досягнено, коли в деякій формулі k членів замінюється одним числом r<k- 1. В розглянутому прикладі імпліканти 3 і 4 для функції f₁ можна замінити імплікантою f(a, b, c, d) = a. В результаті отримуємо такі функції (спільна ціна С₁ = 24):

При роздільній мінімізації отримуємо такі функції (спільна ц іна С₂ = 28).

Змішані форми систем функцій. Змішані диз’юнктивні і кон’юнктивні форми, що приводять до мінімальних форм при синтезі схем з багатьма виходами, можна отримати графічно. Порядок дій для таких випадків розглянемо на таких прикладах. Функції f₁, f₂, f₃ задані діаграмами Вейча (рис. 9.6).

Рис. 9.6. Діаграми Вейча функцій f₁, f₂, f₃

Функція f₂ реалізується найпростішою логічною схемою. Тому функції f₁ і f₃ виразимо через f₂. Функція f₁ відрізняється від функції f₂ додатковою конституентою одиниці x y z.

Тому можна написати f₁ = f₂ v x y z. Враховуючи, що одиниці x y z. з’єд-нується з сумісною конституентою одиниці xyz, що входить у функції f₁ і f₂,, можна x y z замінити більш скороченою імплікантою xz, після чого функція має вигляд f₁ = f₂ v xz .

Функція f₃ відрізняється від функції f₂ відсутністю конституенти одиниці xyz. Щоб вилучити одиницю з діаграми функції f₂, достатньо логічно помножити цю функцію на конституенту нуля цієї позиції. Конституента нуля дорівнює нулеві тільки на одній позиції, а на інших вона дорівнює одиниці. Легко з’ясувати, що при логічному множенні (кон’юнкції) двох будь-яких функцій діаграма результату містить одиниці тільки у тих клітинках, де одиниці вхідних функцій збігаються.

Правило представлення системи ФП у змішаній формі можна сформулювати так: Для представлення системи ФП у змішаній формі найпростіша за схемною реалізацією функція вважається базовою, оскільки інші функції виражаються через неї. Щоб додати в базовій функції одиницю, треба логічно додати до базової функції конституенту одиниці для відповідної позиції або більш скорочену елементарну функцію. Щоб вилучити з діаграми базової функції одиницю, треба базову функцію логічно помножити на конституенту нуля для відповідної позиції або на елементарну диз’юнкцію, яка накриває суміжні нулі розглядуваної функції. Іноді буває, що значення двох функцій на більшості наборів протилежні. Тоді одну функцію зручно описати через інверсію іншої. (рис. 9.7).

Мінімізація схем з багатьма виходами потребує не тільки навиків, але і винахідливості.

Рис. 9.7. Діаграми Вейча функцій f₁ і f₂

Рис. 9.8. Куб

Важливим моментом такої геометричної інтерпретації є відсутність між двома n-бітними словами, тобто кількість біт, за якими два слова або дві вершини відрізняються між собою кодом. З погляду n-куба – це мінімальна довжина шляху, якій необхідно пройти (по ребрах куба) від однієї вершини до іншої.

Це фактично правило, за яким розраховують кодову відстань. Інакше правило розрахунку кодової відстані полягає у знаходженні суми за модулем 2 кодових комбінацій, які приписані вершинам кубу. Після цього підраховують кількість одиниць в отриманій сумі.

Розглянемо числа десяткові, 16-значні, двійкові та код Грея в таблиці.

Десяткові числа	16- значні числа	Двійкові числа					Код Грея
0	0	0	0	0	0	0		0	0	0
1	1	0	0	0	1	0		0	0	1
2	2	0	0	1	0	0		0	1	1
3	3	0	0	1	1	0		0	1	0
4	4	0	1	0	0	0		1	1	0
5	5	0	1	0	1	0		1	1	1
6	6	0	1	1	0	0		1	0	1
7	7	0	1	1	1	0		1	0	0
8	8	1	0	0	0	1		1	0	0
9	9	1	0	0	1	1		1	0	1
10	A	1	0	1	0	1		1	1	1
11	B	1	0	1	1	1		1	1	0
12	C	1	1	0	0	1		1	0	0
13	D	1	1	0	1	1		0	1	0
14	E	1	1	1	0	1		0	1	1
15	F	1	1	1	1	1		0	0	0

Двійкові вирази десяткових чисел 0 – 2 повторюються у числах 4 – 7 з різницею у старшому біті коду, що відображає числа в діапазоні 0 – 7 та ін.