8.1. Теоретичні відомості
Основні поняття
Теоретичним обґрунтуванням канонічного методу синтезу послідовних автоматів 1-го і 2-го роду, що функціонують в автоматному дискретному часу, є теорема про структурну повноту. Дамо своє визначення теореми про структурну повноту, яку запропонував ще в 1962 році академік В. М. Глушков.
Кожна система елементарних автоматів, що містить одноступеневий монофункціональний автомат (автомат Мура з нетривіальною пам'яттю), який має повні системи переходів, виходів і тільки одну систему функцій збереження станів, і будь-яку функціонально повну систему логічних елементів є структурно повною системою.
У даній теоремі встановлено для більшого уточнення, що елементарніний автомат є одноступеневим і монофункціональним, як це відповідає автомату Мура з нетривіальною пам'яттю, а також що цей елементарний автомат має тільки одну систему функцій збереження станів. Це уточнення необхідно при порівнянні з елементарніними багатофункціональними автоматами Мараховського, які віповідають елементарним БФСП, котрі мають декілька функцій збереження станів (не менш двох), а також з елементарними БРСП, які багатоступеневі.
Існує єдиний прийом (канонічний метод), що дозволяє звести проблему структурного синтезу довільних монофункціональних автоматів 1-го і 2-го роду до проблеми синтезу комбінаційних схем.
Обмеження цієї теореми не дозволяють будувати автомати Мараховськго, які мають укрупнені переходи при внутрішньому такті Δ і функціонують в автоматному безперервному часу Т.
Для зняття цього обмеження була в 1996 році Л.Ф. Мараховським запропонована розширена теорема про структурну повноту елементарних автоматів. Розглянемо розширену теорему про структурну повноту.
Кожна система елементарних автоматів, що містить елементарні ний багатофункціональний автомат (БФСП), який має повні системи переходів, виходів і систему функцій збереження станів (де кількість функцій не менше двох), і будь-яку функціонально повну систему логічних елементів є структурно повною системою.
Існує єдиний прийом (канонічний метод), що дозволяє звести проблему структурного синтезу довільних багатофункціональних автоматів 1-го, 2-го і довільних автоматів 3-го роду до проблеми синтезу комбінаційних схем.
Теоретичним обґрунтуванням канонічного методу синтезу автоматів 1-го, 2-го і 3-го роду, що функціонують в автоматному безперервному часі, є розширена теорема про структурну повноту. Ця теорема дозволяє будувати багатофункціональні автомати 1-го і 2-го роду, що мають однозначні переходи по одній змінній під час такту t та можливість перебудови підмножин станів елемтарного автомата БФСП у час Δ, і автомати 3-го роду, що мають ще укрупнені, імовірні та нечіткі переходи по двох змінних під час такту T і функціонуючі в автоматному безперервному часі.
Функціонально повна система логічних елементів, за визначенням, складається з логічних елементів, які виконують три логічні функції: «І». «АБО» та «НІ».
В інтегральних схемах застосовуються логічні елементи з інверсіями, тобто «І-НІ», «АБО-НІ», «І-АБО-НІ» тощо.
Як пам’ять в складних автоматах (при будовані пристроїв комп'ютерної техніки) Мілі, Мура та С-автоматах застосовуює тригери, то в багатофункціональних (реконфігуровних) автоматах Мараховського крім тригерів застосовуються багатофункціональні та багаторівневі схеми пам’яті.
Основи моделювання комп’ютерних схем
При моделюванні схем пам’яті треба один і той самий клас схем (зі зворотними зв’язками - «петлями») послідовно обчислювати кілька разів, використовуючи попередні значення, поки значення на всіх вузлах цього класу схем не збігатимуться один з одним. У цьому випадку отримуємо стійкі значення вихідних сигналів в схемах пам’яті.
Поділ на комбінаційні і схеми пам’яті зручно при моделюванні потенційних схем. При моделюванні багатотактовнх (динамічних) систем без петель в одному класі логічних елементів всі схеми описуються як комбінаційні.
Математична модель може бути отримана накладенням булевих функцій, вирішення яких відповідає перетворенню інформації в логічному елементі в умовний тактовий момент. Дана модель ізоморфна реальним логічним пристроям, тому що описується системою бульових рівнянь безпосередніх зв’язків, що відповідає тактовим застосуванням в реальних в комп’ютерних пристроях. Сигнал х в реальних пристроях має значення логічної одиниці і значення логічного нуля. Значення сигналу, яке знаходиться в проміжках між цих двох значень (1 і 0) вважається невизначеним і цьому значенню присвоюється значення «0,5». Значення сигналу х надані на рис. 8.1
Рис.8.1. Зміна значення сигналу х при переході від 0-го значення до 1-го
При обчисленні значень в схемах пам’яті значення на всіх вузлах в момент t і (t + k) можуть збігатися. Коли k = 1, подальше обчислення значень зупиняється, тому що отримані всі стійкі значення.
y(t) = y(t + k) (8.1)
Коли k > 1 подальше обчислення значень зупиняється, тому що схема не має стійких значень.
Коли при математичному моделюванні під час встановлює процесу (k = 1) існують на деяких вузлах значення сигналу «0,5», то це говорить або про некоректному побудови детермінованого дискретного пристрою, або про появу на його вузлах забороненої послідовності вхідних сигналів.
Формалізоване уявлення заданої функції
Кожній змінній у виразі ФП відповідає вхідний сигнал, який подається на вхід схеми по окремій шині. Кожній операції над змінними відповідає логічний елемент схеми, який реалізує операцію даного типу. Суперпозиція функції відповідає послідовному з’єднанню елементів, при якому вихід попереднього елемента з’єднаний з входом наступного. Сигнал, який відповідає значенню функції, що реалізується схемою, знімається з вихідної шини останнього елемента схеми. Вхід елемента може бути з’єднаний тільки з одним виходом іншого елемента, а вихід елемента – з входами декількох елементів паралельно. З’єднання виходу елемента з його входом безпосередньо або через інші елементи у комбінаційних схемах не допускається. Фізичні сигнали в елементах пристроїв ком-п’ютерів повинні приймати два різних значення, які позначаються двома логічними символами «0» або «1».
При переході від символу «0» до символу «1» або навпаки (від «1» до «0») фізичний сигнал проходить значення логічної невизначеності «0,5» (рис. 8.1).
Це значення вказує на те, що значення це невідоме, тому що в комп’ютери використовуються тільки два сталі логічні значення «1» або «0». Логічна невизначеність використовується при аналізі схем комп’ютерів на їх працездатність. В схемах комп’ютерів змінні і відповідні їм сигнали змінюються і приймаються у дискретні моменти часу, який позначається цілими додатними числами: t = 0, 1, 2, ...,n, ... Інтервал між двома сусідніми дискретними моментами часу називаються тактом або періодом, а самі дискретні моменти – тактами. Дискретний час можна уявити сукупністю точок на осі часу, що відповідають послідовним тактовим моментам. Значення змінних і відповідних сигналів у схемі розглядаються в і-ий тактовий момент дискретного часу.
У загальній формі використовуваних сигналів, що мають три значення («1»; «0,5»; «0»), кон’юнкція, диз’юнкція і інверсія обчислюється за формулами багатозначної логіки, яку запропонував польський вчений Лукасевич у 1920 році:
У математичних моделях затримка в елементах приймається за постійну величину. При аналізі комбінаційних схем в комп’ютері, вони описуються у виг-ляді багаторівневої системи рівнянь безпосередніх зв’язків, які однозначно відповідають функціональним (комбінаційним) схемам. Ступенева система рівнянь безпосередніх зв’язків складається із класів елементів К0, K1, . . .,Kn. Будь-яка змінна класу Кі визначається лише такими функціями, аргументи яких мають змінні класів К0, K1, . . .,Kn-1.
Множина зовнішніх вхідних вузлів комбінаційної схеми називається вузлами нульового ступеня, на які сигнали подаються із зовні (наприклад, сигнали x, y, z). У раціональній комбінаційній схемі сигнали на усіх вузлах повинні бути визначеними функціями від значень сигналів на вхідних вузлах. У зв’язку з цим у математичній моделі при аналізі схеми у вигляді ступеневої системи рівнянь треба вказувати класи логічних елементів та їх допустимі зв’язки. Алгоритм перевірки на коректність вхідних даних полягає у тому, що вихідна змінна логічного елемента, яка належить до класу Кі, яка має вхідні змінні, що належить до класів К0, K1, . . .,Kn-1.
Реальний елемент завжди має обмежену кількість допустимих Кmax входів і кількість допустимої Рmax навантажувальної здібності по виходах, щоб не порушувати технічні режими його роботи. Для синтезу схем з врахуваннями кількості входів елемента треба вводити дужки, об’єднуючи у них змінні і їх кон’юнкції та диз’юнкції в кількості, що не перевершує число допустимих входів елемента. Форма запису ФП у дужках забезпечує синтез схем з обмеженим числом входів.
Коли до виходу елемента треба підключити більше число елементів ніж Рmax, то застосовують два методи: або підключають до виходу потрібне число підсилювачів, що збільшує затримку проходження сигналу, або дублюють елементи.