Теоретичні відомості
Поняття про дискретні автомати
Дискретними автоматами Мілі та Мура називають пристрої, які перетворюють інформацію в дискретні моменти часу, які в математиці ототожнюються як точка на числовій осі ti (i = 0, 1, 2, ..., n, ...), а в реальному пристрої як такт t.
Дискретну інформацію вважають алфавітною, заданою в тому чи іншому алфавіті. У сучасних дискретних автоматах прийнято ототожнювати букви використовуваного стандартного алфавіту з цифрами тій чи однієї системи числення (найчастіше двійковій або десятковій). Тому дискретні автомати прийнято називати цифровими автоматами.
Основною якістю, що виділяє дискретні автомати з числа від всіх інших перетворювачів інформації, є наявність дискретного (при цьому в реальних пристроях завжди кінцевого) безлічі внутрішніх станів і властивості стрибкоподібного переходу з одного стану в інший під час такту t, який займає не більше двох-трьох затримок τэ логічного елемента І-НІ (АБО-НІ).
Стрибкоподібний перехід означає можливість трактувати його як миттєвий (на певною мірою абстракції), який вчиняється безпосередньо, минаючи будь-які стани. Така абстракція, досить добре описує основні властивості реальних цифрових автоматичних пристроїв (насамперед пристроїв комп’ютера і самих комп’ютерів) і тому може бути прийнята для побудови теорії цифрових автоматів.
Друге припущення полягає в тому, що перехід в наступний стан виявляється можливим після перехідного процесу в схемах пам’яті автомата, які мають розкид параметрів, але для даного автомата становить деякий фіксований проміжок часу, який зазвичай вибирається рівним чотирьом затримкам τэ елемента. Такий інтервал дискретності автомата зазвичай вибирається як такт t машинного такту. Таке припущення дає можливість розглядати при функціонуванні цифрового автомата Мілі або Мура в дискретному автоматному часі ti . При побудові такого дискретного автоматного часу розрізняють два основних випадки:
1) синхронні автомати, в яких машинний такт визначається генератором синхронізуючих імпульсів, і, звичайно, має однакові проміжки такту t, під час якого надходять вхідні сигнали х(t) на входи автомата, і проміжку між тактами, на які надходять порожні вхідні слова е(Δ), які в роботі автоматів Мілі та Мура не беруться до уваги, тому що не здатні брати участь у переходах в пам'яті автоматів на тригерах;
2) в асинхронних автоматах дискретний час визначається виключно лише в момент переходів в пам’яті автомата з одного стану в інший.
Теорія асинхронних автоматів істотно відрізняється від теорії синхронних автоматів тим, що в ній розглядаються не тільки моменти які, фактично мали місце при переході, але також і такі переходи, які в даний момент можливі, але не відбулися.
До таких зараховують моменти приходу вхідних сигналів х(t) імпульсного типу (миттєвих) і зміни рівня напруги сигналів потенційного типу, діючих в тимчасовому інтервалі такту t. При цьому вважають, що інтервал дискретності автомата обмежує мінімально можливу відстань, де додатково вводяться моменти автоматного часу. При такому припущенні теорія асинхронних автоматів у ряді випадків може бути зведена до синхронних, оскільки фактично довжини інтервалів між послідовними моментами дискретного автоматного часу в ідеалізованої теорії автоматів (без урахування перехідних процесів) не має ніякого значення, оскільки на автомат в цей момент надходить пусте слово е(Δ) нульової довжини. Маючи на увазі таку обставину, в автоматах Мілі та Мура розглядається абстрактний дискретний автоматний час, що приймає цілі невід’ємні значення: t = 0, 1, 2, ..., n, ..., і будується теорія, як теорія синхронних автоматів, хоча насправді вона охоплює значною мірою і теорію асинхронних автоматів.
Переходи з одного аi стану автомата в інше ak викликаються вхідними сигналами x(t), що виникають поза автомату і передаються в автомат по кінцевому числу вхідних каналів. Відносно вхідних сигналів x(t) цифрових автоматів приймаються два припущення: по-перше, для будь-якого цифрового автомата число різних вхідних сигналів x(t) обов’язково кінцеве, а, по-друге, вхідні сигнали x(t)) розглядаються як причина переходу автомата з одного стану в інший і належать до моментів часу, обумовлених відповідними їм переходами. Особливо слід підкреслити, що реальний фізичний вхідний сигнал, який викликає зміни стану автомата в момент часу ti, може скінчитися до наступу цього моменту, однак, він належать саме до моменту часу ti, а не ti-1.
Результатом роботи цифрового автомата є видача вихідних сигналів у, переданих з автомата в зовнішні ланцюги по кінцевому числу вихідних каналів. Щодо вихідних сигналів у вводяться допущення: по-перше, для будь-якого цифрового автомата число різних вихідних сигналів у обов’язково кінцеве, а, по-друге, кожному відмінному від нуля моменту автоматного часу відповідає вихідний сигнал у.
В автоматах Мілі, що розглядаються в автоматному дискретному часі, вихідний сигнал у(t) визначається парою (х(t), а(t-1)), а сам автомат називається автоматом першого роду.
В автоматах Мура, що розглядаються в автоматному дискретному часу, вихідний сигнал у(t) визначається тільки станом автомата а(t), а сам автомат називається автоматом другого роду.
Звернемо увагу, що в тригерах зберігається тільки одна підмножина станів схем пам’яті, які зберігаються під впливом тільки одного вхідного сигналу е(Δ), який в роботі автоматів Мілі та Мура не враховується, і, як говорилося раніше, називається порожнім словом нульової довжини.
Загальна теорія автоматів при описаних припущеннях розбивається на абстрактну і структурну теорію автоматів. В абстрактної теорії автоматів відволікаються від структури самого автомата і його вхідних і вихідних сигналів. Вхідні і вихідні сигнали розглядаються як букви двох фіксованих алфавітів - вхідного і вихідного. Абстрактна теорія вивчає лише ті переходи, які здійснює автомат під впливом вхідних сигналів, і ті вихідні сигнали, які видаються.
Абстрактна теорія автоматів, таким чином, близька до теорії алгоритмів, будучи по суті її подальшою деталізацією.
Структурна теорія автоматів цікавиться структурою, як самого автомата, так і його вхідних і вихідних сигналів. У структурній теорії розглядаються способи побудови автоматів з елементарних схем пам’яті, способи кодування вхідних і вихідних сигналів елементарними сигналами, що передаються по реальних вхідних і вихідних каналах тощо.
Таким чином, структурна теорія автоматів є продовженням і подальшим розвитком абстрактної теорії. Зокрема задача ідеалізованого (без урахування перехідних процесів) цифрового автомата природним чином розділяється на етапи абстрактного і структурного синтезу.
Окремим випадком дискретних автоматів є автомати, що володіють одним внутрішнім станом, які називають комбінаційними схемами або автоматами без пам’яті. Робота таких автоматів полягає в тому, що вони можуть порівнювати кожний вхідний сигнал х(t) з вихідним у(t).
Основна ідея методики синтезу автомата полягає в тому, щоб ще на рівні абстрактної теорії подолати основні труднощі, викликані наявністю пам’яті, а на рівні структурної теорії звести задачу синтезу до задачі синтезу комбінаційних схем.
Теорія класичних автоматів Мілі та Мура, яка розвивалася більше 60 років, є закінченою розробкою, впроваджена на сьогоднішній день майже в усі автоматичні дискретні пристрої сучасних комп’ютерів і комп’ютерних систем.
Поняття про абстрактні автомати
Об’єктом вивчення в абстрактній теорії автоматів з точки зору системного підходу аж до 90-х років ХХ століття були абстрактні автомати Мілі та Мура, функціонуючі в дискретно автоматному часу. У наступні роки, у зв’язку з бурхливим розвитком великих інтегральних схем, які являють собою цілі функціональні блоки комп’ютера (процесори, оперативна пам’ять і т. ін.), інтерес до теорії автоматів впав, хоча всі вони реалізуються автоматами Мілі та Мура. Навіть деякі вчені в кінці ХХ століття висловлювали думку, що теорія автоматів себе від-жила. Однак, це зовсім не так!
Кращим підтвердженням є створення теорії багатофункціональних автоматів (у тому числі і автоматів Мараховського), які дали поштовх для розвитку нових напрямів у різних сферах обчислювальної техніки,
В теорії абстрактних автоматів часто відволікаються від його структури. Поняття абстрактного автомата в теорії дискретних пристроїв втілило в собі системний підхід, при якому предмет або явище розглядаються як щось цілісне, і основний акцент у дослідженнях робиться на виявленні різноманітті зв’язків і відносин із зовнішнім середовищем. Поняття стану у визначенні автомата введене в зв’язку з тим, що часто виникає необхідність в описі систем, виходи яких залежать не тільки від стану входів в даний момент, але і від деякої передісторії, тобто від сигналів, які надходили на входи системи раніше і змінювали її функціонування. Стани, що розглядаються в даний момент і відповідають деякій пам’яті про минуле, дозволяючи усувати час як явну змінну і виразити вихідний сигнал як функцію тільки з аргументами стану і вхідного сигналу в даний відрізок часу.
З точки зору послідовних монофункціональних автоматів Мілі та Мура загальна характеристика автомата досить повно описана в літературі, в якій комбінаційні схеми названі формерами. Канонічна схема автоматів Мілі та Мура або в загальному випадку послідовного С-автомата являє собою пристрій, що складається з взаємодіючих регістра на тригерах і комбінаційних схем.
В окремому випадку автомат може складатися з однієї комбінаційної схеми і тоді його розглядають як автомат з одним станом або тривіальний автомат, або з одного регістра, що запам’ятовує не менше двох станів, тоді його розглядають як нетривіальний автомат Мура з пам’яттю.
Клас автоматів, у яких вихід не залежить від передісторії, і в кожний момент часу визначається лише вхідним сигналом в цей самий момент часу, називається комбінаційними схемами, які в своїй структурі не мають зворотних ланцюгів для запам’ятовування, як це здійснюється в схемах пам’яті. Такий клас автоматів на абстрактному рівні можна описати трикомпонентним вектором:
А = (Х, Y, λ), (5.1)
у якого:
Х – кінцеве безліч вхідних сигналів;
Y – кінцеве безліч вихідних сигналів;
λ : Х → Y – функція виходів, що реалізує відображення φλ є Х на Y.
Комбінаційні схеми іноді називають функціональними перетворювачами.
Визначення 5.1. Абстрактний автомат А Мілі або Мура задається як сукупність шести об'єктів:
А = (Х, Y, Q, δ, λ, а0), (5.2)
Процедура, що встановлює відповідність між послідовностями вхідних, станів і вихідних сигналів, називають функціонуванням моделі абстрактного автомата.
Автомат з початковим станом а0 називають ініціальним абстрактним кінцевим автоматом.
Закон функціонування абстрактного автомата в разі автомата 1-го роду (автомата Мілі) задається рівняннями в автоматному дискретному часі:
а(t) = δ(а(t – 1), х(t)), у(t) = λ(а(t – 1), х(t)), (t = 1, 2. …), (5.3)
для автомата 2-го роду (автомата Мура), функціонуючого в автоматному дискретному часі, – рівняннями:
а(t) = δ(а(t – 1), х(t)), у(t) = λ(а(t)), (t = 1, 2. …), (5.4)
а в разі об’єднаного С-автомата, в якому реалізувалися функції виходів автоматів Мілі та Мура – рівняннями:
а(t) = δ(а(t – 1), х(t)), у1(t) = λ1(а(t – 1), х(t)), у2(t) = λ2(а(t)), (t = 1, 2. …). (5.5)
Встановленням закону функціонування закінчується визначення абстрактного автомата.
Автомат називається кінцевим, якщо кінцеві всі три складові, що визначають його безлічі Х, Y, Q. Автомат називається цілком певним, якщо його функції переходів δ і виходів λ задані на всіх парах (а, х), і частковим автоматом - в іншому випадку. За кількістю виконуваних перетворень всі автомати Мілі та Мура діляться на два класи: монофункціональні та багатофункціональні.
Канонічна схема автомата Мілі (рис. 5.2, а), автомата Мура (рис. 5.2, б) або в узагальненому вигляді (рис. 5. 2, в) складаються з пов’язаних між собою регістра і комбінаційних схем.
Монофункціональний автомат має жорстку структуру і завжди реалізує одне і те саме перетворення {X} в {Y}. Для такого автомата величина функціональності f дорівнює 1 (f = 1).
