Вопросы по теме

1. Основные принципы информационного поиска

2. Виды информационного поиска

3. Логика поиска

4. Стратегия поиска

5. Последовательный поиск

6. Ускоренные методы поиска. Блочный поиск и поиск по двоичному дереву.

7. Хеширование

8. Многоаспектный поиск

9. Справочники

10. Справочники на основе сбалансированного Б-дерева

5. Численные методы. Оптимизация функции одного аргумента

Оптимизация – нахождение наибольшего или наименьшего значения какой-либо функции, или выбор наилучшего варианта из множества возможных.

x^*– точка минимума, если в ее окружности выполняется условиеf(x)>f(x^*). Необходимое условие минимума: значение первой производной в данной точке должно быть равным нулю. Достаточное условие минимума: вторая производная функции в этой точке больше нуля. Функция называется унимодальной, если на отрезке [a,b] имеется единственная точка, удовлетворяющая условию минимума.

5.1. Методы исключения интервалов

Оптимизационные задачи решаются определением двух ситуаций:

1. Определяется, является ли данная точка точкой минимума.

2. Если данная точка не является точкой минимума, то каким образом можно достигнуть минимума.

Задача оптимизации функции одной переменной может быть решена методом исключения интервалов.

Дана функция f(x) унимодальная на [a,b]. Определить, является ли рассматриваемая точка точкой минимума, если нет, то каким образом ее достичь. Для функции одной переменной могут быть использованы методы, ориентированные на поиск минимума внутри интервала унимодальности путем последовательного исключения подинтервала и уменьшения интервала поиска, основанного на предположении о унимодальности, которое позволяет использовать значение функции в двух точках для определения подинтервала, содержащего точку оптимума. Пусть даныx₁иx₂, такие, чтоa<x₁<x₂<b, тогда могут иметь место 3 варианта:

1. f(x₁)>f(x₂) x^* [x₁, b];

2. f(x₁)<f(x₂) x^* [a, x₂];

3. f(x₁)=f(x₂) x^* [x₁, x₂].

Данное правило положено в основу группы методов исключения интервалов.

Поиск оптимума завершается, когда интервал уменьшается до достаточно малых размеров. Все методы данной группы выполняются в два этапа: первый – установление границ поиска; второй – уменьшение интервала.

На первом этапе выбирается начальная точка x₀, затем подбирается относительно широкий интервал, содержащий точку оптимума. В качестве алгоритма определения границ можно использовать эвристический метод Свена. В соответствии с этим методом, границы интервала определяются по рекуррентной формуле

x_k+1=x_k+2^k, гдеk=0,1,2…

x₀– предварительно выбранная точка,– предварительно выбранная величина шага. Знакзависит от результата сравнения трех величин:f(x₀-||),f(x₀),f(x₀+||). Возможны 4 варианта:

1. f(x₀-||)f(x₀)f(x₀+||). Точка оптимума лежит левееx₀.

2. f(x₀-||)f(x₀)f(x₀+||). Точка оптимума лежит правееx₀.

3. f(x₀-||)f(x₀)f(x₀+||). Точка оптимума лежит внутри интервала, поиск завершен.

4. f(x₀-||)f(x₀)f(x₀+||). Поиск минимума невозможен, т.к. функция не удовлетворяет условию унимодальности.

Определив , увеличиваем на каждом шаге его значение в два раза до тех пор, пока не будет истинным третье неравенство.

В зависимости от абсолютного значения варьируется эффективность поиска границ интервала. Большое значение дает более быстрый положительный результат, меньшее – дает меньшее значение интервала.