1.6. Построение графиков

В экспериментальной физике результаты измерений важно представить в наглядной форме, удобной для использования и обработки. Обычно для этого составляют таблицы, графики и уравнения. Представление данных в виде таблиц облегчает сравнение различных значений, поэтому данные опыта, как правило, записывают в таблицу, которая позволяет также вести и обработку результатов измерений. При построении графика функциональная зависимость становится явной, а результаты опыта наглядными. Посмотрев на график, можно сразу оценить вид полученной зависимости, получить о ней качественное представление и отметить наличие максимумов, минимумов, точек перегиба, областей наибольшей и наименьшей скоростей изменения, периодичности и т.п. График позволяет также судить о соответствии экспериментальных данных рассматриваемой теоретической зависимости и облегчает обработку измерений. Чаще всего график представляет зависимость между двумя переменными. При его построении необходимо пользоваться определенными правилами:

1) Графики выполняются преимущественно на миллиметровой бумаге или бумаге со специальными координатными сетками.

2) В качестве осей координат следует применять прямоугольную систему координат (это облегчает использование построенного графика). Общепринято по оси абсцисс откладывать ту величину, изменения которой являются причиной изменения другой (т.е. по оси абсцисс – аргумент, по оси ординат – функцию). Оси координат следует заканчивать стрелками. На оси наносится масштаб, неудачный выбор которого – одна из наиболее распространенных ошибок, зачастую обесценивающая график.

3) Масштаб наносится так, чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 5 единиц (допустимо 2,5 и 4). Число делений с цифрами на каждой оси составляет обычно от 4 до 10. В конце оси указывается откладываемая величина и единицы ее измерения. Обычно туда же выносится и порядок масштаба (  , где – целое число). При этом множитель, определяющий порядок величины, может включаться в единицы измерения, например: , мА или , 10 А. Если началом отсчёта является нуль, его следует указывать у точки пересечения осей. Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист, а погрешность измерения соответствовала одному-двум мелким делениям графика. При этом начало отсчета не обязательно начинать с нуля, иногда удобнее выбирать округленное число, отличное от нуля, и таким образом увеличить масштаб, но погрешность при этом по-прежнему должна составлять одно-два мелких деления. Не следует расставлять эти числа слишком густо. Образец оформления графической зависимости сопротивления терморезистора от температуры представлен на рис. 1.2.

4) Масштабы по обеим осям выбираются независимо друг от друга.

5) При исследовании физических явлений следует иметь в виду, что в тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений (несколькими точками кривой на графике). В областях максимумов, минимумов и точек перегибов следует производить измерения значительно чаще, что увеличит точность построения графика.

6) Точки должны наноситься на график тщательно и аккуратно, чтобы график получился более точным. На график наносят все полученные в измерениях значения. Если одна точка измерялась несколько раз, то нужно нанести среднее арифметическое значение и указать разброс. Если на один и тот же график наносятся различные группы данных (результаты измерения разных величин или одной величины, но полученные в разных условиях и т. п.), то точки, относящиеся к разным группам, должны быть помечены различными символами (кружочки , треугольники _▼, ромбики ♦ и т. п.).

Рис. 1.2. Зависимость сопротивления терморезистора от температуры

7) Погрешность измерения изображают на графике с помощью “крестиков” соответствующих размеров, нанесённых поверх точек (см. рис. 1.2).

8) Прямую зависимость на графике проводят карандашом с помощью линейки. Кривую проводят плавно от руки по экспериментальным точкам. Для последующей обводки кривой можно использовать лекало.

9) Если функция изменяется на несколько порядков при малых изменениях аргумента, то удобно применять системы координат с полулогарифмическим или логарифмическим масштабом. Полулогарифмическая система координат – это прямоугольная система координат, по одной оси которой отложен равномерный масштаб, а по второй – логарифмический (пропорциональный логарифму натуральных чисел). Полулогарифмический масштаб удобен для изображения зависимости типа . Логарифмируя зависимость, получим , где . Если наносить величину х по оси равномерной шкалы, а величину у – по оси логарифмической шкалы, то получится прямая линия.

10) Логарифмическая система координат – это прямоугольная система координат, на обеих осях которой отложены логарифмические масштабы. Логарифмические координаты очень удобны для изображения зависимости вида:

.

Логарифмируя приводимую зависимость, получим:

.

В логарифмической системе координат такая зависимость будет иметь вид прямой линии.

График должен быть наглядным и приемлемым с эстетической точки зрения (разные цвета для экспериментальных точек и кривых). Построенный график снабжается подписью, в которой даётся точное описание того, что показывает график. Различные группы точек или различные кривые на графике также должны быть обозначены и объяснены в подписи к графику.

Обработка результатов сводится к выяснению аналитической зависимости между величинами. Если эта зависимость нелинейная, то обработка будет сложной. Однако, современные компьютерные программы (MS Excel, Origin и др.) позволяют строить различные виды кривых по экспериментальным точкам. Построение аналитической зависимости по экспериментальным данным чаще всего проводят по методу наименьших квадратов.

Остановимся на случае, когда уравнение имеет вид прямой линии: . Суть метода сводится к следующему: необходимо найти такие значения и , при которых сумма квадратов расстояний от прямой до экспериментальных точек с координатами , ( = 1, 2, 3, …, ) была наименьшей. Это эквивалентно минимуму суммы:

.

Условия минимальности суммы:

(1.7)

дают два уравнения для определения и :

(1.8)

Для решения этой задачи стоят таблицу:

Номер измерения
1
2
3
4
…

Подставляя полученные значения в систему уравнений (1.8), находят коэффициенты и .

Приведем пример построения графика в полулогарифмических координатах.

Изучая амплитуду затуханий пружинного маятника, была получена следующая таблица экспериментальных результатов:

Время, с	10	20	30	40	50	60	70	80	90
Амплитуда колебаний, см	4,5	4,1	3,7	3,3	3,0	2,7	2,5	2,2	2,0
Время, с	100	110	120	130	140	150	160	170	180
Амплитуда колебаний, см	1,8	1,7	1,5	1,4	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8

Ошибка прибора по измерению амплитуды составляла 0,1 см.

Необходимо построить график полученной зависимости. Воспользуемся для этого программой Origin.

а) б)

Рис. 1.3. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени: а) линейные координаты, б) полулогарифмические координаты

Зависимость рис. 1.3а похожа на экспоненциальную, проверить свое предположение можно, перестроив график в полулогарифмических координатах. Если зависимость действительно экспоненциальная, то в полулогарифмических координатах получится прямая линия с хорошим коэффициентом корреляции (рис. 1.3б).

Пример.

Изучить зависимость электропроводности  от % содержания q добавок Mg к сплаву Al-Si.

В результате экспериментов получена следующая расчетная таблица:

q,%	, мкОмсм
0,00	5,03
0,20	5,87
0,25	5,99
0,30	6,20
0,35	6,39
0,40	6,59
0,45	6,69
0,55	6,90
0,70	7,05
0,80	7,21

Необходимо оценить параметры линейной и квадратичной модели и отклонения от нее.

Рис. 1.4. Экспериментальные точки

Воспользуемся программой Origin. Заполнив таблицу данных и выбрав пункт меню Plot  Scatter, получим нанесенные экспериментальные точки, показанные на рис. 1.4.

Рис. 1.5. Построение линейной зависимости. Коэффициент корреляции равен 0,964

По экспериментальным точкам видно, что зависимость может быть построена по методу наименьших квадратов как линейная, так и квадратичная. Построим обе зависимости и оценим коэффициент корреляции для них.

Выберем пункт меню Analysis  Fit Linear. Результат расчета линейной функции по методу наименьших квадратов вы видите на рис. 1.5. Коэффициент корреляции равен 0,964.

Построим по этим же экспериментальным точкам квадратичную зависимость. Выберем пункт меню Analysis  Fit Polynomial. Построим полином второго порядка. Результат расчета квадратичной функции по методу наименьших квадратов вы видите на рис. 1.6. Коэффициент корреляции равен 0,9961.

Рис. 1.6. Построение квадратичной функции. Коэффициент корреляции равен 0,9961

Таким образом, данную экспериментальную зависимость лучше описывает квадратичная функция.

Аналогичные построения можно выполнить в приложении MS Excel.