9.3. Методика изучения избранного алгебраического материала.

9.3.1. Методика введения понятия «Одночлен» и формирование умения находить его числовое значение.

К опорным зна­ниям относятся понятия алгебраического выражения, произве­дения алгебраических выражений, множителя (числового и буквенного); к умениям – запись алгебраического выражения по его элементам, выделение элементов заданного алгебраиче­ского выражения.

Актуализация знаний осуществляется посредством упражнений.

1. Из данного набора выбери­те такие алгебраические выражения, которые являются произведениями нескольких множителей: а) 5а²b; б) (7аb² + с²):(5m²n); в) 8; г) 5а⁶bb⁴а; д) ; е) ж)

Указанному условию удовлетворяют алгебраические выра­жения: 5а²b; 8; 5а⁶bb⁴а; ; Скорее всего, учащиеся не назовут в числе требуемых алгебраических выражений 8; ; хотя некоторые могут догадаться, что можно представить как с. Взяв несколько алгебраических выражений, следует поупражняться в выделении их числового множителя, буквенных множителей, в записи по данным алгебраическим выражениям новых выражений.

2. Составьте новое алгебраическое выражение, используя выражения 3а²b и а. Возможные ответы учащихся: 3а²b + а; 3а²b – а; 3а²b а; 3а²b : а.

Далее учитель формулирует определение одночлена и предлагает упражнения на распознавание одночленов и выве­дение следствий из принадлежности данных алгебраических выражений одночленам.

3. Какие из указанных выражений являются одночленами: а) 5а³bсаb⁴ ; б) а; в) г) 3⁴ д) 7аb²:n; д) – 5а⁶ b с²; е) – а³; ж) з) – mnx. Назовите числовые и буквенные множители одночленов.

4. Запишите несколько алгебраических выражений, явля­ющихся одночленами.

5. Запишите несколько одночленов, отличающихся только числовым коэффициентом.

6. Заполните пропуски: а) 12а³b⁴ = 2а… b²; б) – 24 m²b⁷p⁶ = 24bp …

Далее можно использовать упражнения на запись словесных формулировок в форме алгебраических выражений и обратно.

7. Вместо словесной формулировки записать алгебраичес­кие выражения: а) удвоенное произведение чисел а и b; б) ут­роенное произведение квадрата числа а и числа b.

8. Пояснить выражения: а) 2а b; б) а 5b.

Например, выражение а 5b можно пояснить как: 1) про­изведение чисел а, 5 и b; 2) произведение чисел а и 5b; 3) пло­щадь прямоугольника со сторонами а и 5b.

Упражнения типа 7 и 8 способствуют и овладению методом решения текстовых задач с помощью уравнений, так как перевод словесных формулировок на язык чисел и букв и словесная интерпретация алгебраических выражений – важные составляющие метода решения задач с помощью уравнений.

Далее используются упражнения на нахождение числового значения выражения.

9. Найдите числовое значение одночлена: 1) 5mnx при m=3, n= ; x=8; 2) (– 0,25)а b при а=12; b=8. При выполнении подобных упражнений следует указать особенным учащимся на необходимость использования свойств и законов арифметических действий для рационализации вычислений.

Организация выполнения упражнений может быть различ­ной: решение у доски, самостоятельное решение, комментиро­ванное решение, одновременное выполнение упражнений на доске с привлечением слабых учащихся и самостоятельная рабо­та сильных учащихся и т.д.

Для домашнего задания можно использовать упражнения на запись чисел в стандартном виде, которое будет служить мо­тивом для введения на следующем уроке понятия стандартно­го вида одночлена.

9.3.2. Обобщение и систематизация знаний по теме: «Прогрессии».

Воспроизведение и коррекцию опорных знаний можно осуществить посредством упражнений на заполнение таблицы с последующим обсуждением результатов.

Вид прогрессии	Формула общего члена	Зависимость между соседними членами	Сумма первых членов
Арифметическая
Геометрическая

Отметим, что арифметическая и геометрическая прогрес­сии дают пример изучения материала в сходных ситуациях, поэтому важное место в систематизации знаний о прогрессиях должны занять методы противопоставления и сопоставления. Обсуждение узловых вопросов основывается на выяснении при­чин различия и общего в прогрессиях.

Вопросы для обсуждения.

А). Назовите общее и различное в структуре определения арифметической и геометрической прогрессий.

Б). Дайте определение бесконечно убывающей геометричес­кой прогрессии.

В). Что называется суммой бесконечно убывающей геомет­рической прогрессии? Запишите ее формулу.

Г). Как доказать, что данная последовательность является арифметической (геометрической) прогрессией?

Д). С помощью стрелок покажите связи между указанными определениями, формулами (рис.7):

a		an = an-1+ d			а1, а2, … …			an = al +d(n–1)
					an, d
	an = (an-1+ an+1)			Признак арифметической прогрессии				Sn = (a1+ a2) n

3. Выпишите все определения, формулы по теме «Геомет­рическая прогрессия» и укажите зависимости между ними.

Упражнения 2 и 3 можно предложить учащимся выпол­нить самостоятельно с последующим обсуждением результатов всеми учащимися класса. Можно упражнение 2 выполнить коллективно, а упражнение 3 предложить в качестве самосто­ятельной работы.

Следующие этапы обобщающего урока реализуются с по­мощью упражнений, выполнение которых требует анализа и использования основных фактов, приводящих к новым связям и отношениям между изученными понятиями и теоремами.

4. Между числами 4 и 9 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометри­ческой прогрессии. Сформулируйте и решите аналогичную за­дачу применительно к арифметической прогрессии.

5. Определите числа a₁, а₂, а₃ и а₄, если a₁, а₂, а₃ – последовательные члены геометрической прогрессии, а a₁, а₃ и а₄ – арифметической прогрессии и а₁+ а₄= 14, а₂ + а₃ = 12.

7. Могут ли три положительных числа быть одновременно тремя последовательными членами арифметической и геомет­рической прогрессий?

8. Можно ли утверждать, что арифметическая и геометри­ческая прогрессии являются функциями? Если да, то к каким видам функций они относятся?

9. Известно, что a_n = 2n+1 – арифметическая прогрессия. Что общего и различного в графиках этой прогрессии и линей­ной функции f(х) = 2x+1?

10. Можно ли указать последовательности, являющиеся одновременно арифметической и геометрической прогрессиями?

Формы выполнения упражнений могут быть различны: выполнение упражнений у доски, комментированное решение и т.д. Некоторые из приведенных упражнений могут быть вы­полнены учащимися самостоятельно, причем выполнение их может осуществляться в зависимости от возможностей школь­ников с применением карточек, содержащих пропущенные строки либо указания к их выполнению. Очевидно, что, чем ниже возможности школьника, тем обширнее для него должен быть набор рекомендаций (указаний к выполнению).

9.3.3. Проверка, оценка и коррекция знаний, умений и навыков по теме: «Умножение и деление рациональных чисел».

Проверка знания учащимися фактического материала, умения объяснять сущность основных понятий осуществляется в процессе беседы с последующим выполнением упражнений.

Вопросы для беседы

1. Сформулируйте правило умножения двух чисел с одинаковы­ми знаками. Приведите примеры.

2. Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками. Приведите примеры.

3. Чему равно произведение нескольких чисел, если одно из них нуль? При каких условиях a b = 0?

4. Чему равно произведение а (–1)? Приведите примеры.

5. Как изменится произведение при перемене знака одно­го из множителей?

6. Сформулируйте переместительный закон умножения.

7. Как формулируется сочетательный закон умножения?

8. Запишите, используя буквы, переместительный и соче­тательный законы умножения.

9. Как найти произведение трех, четырех рациональных чисел?

10. Ученик, выполняя упражнение на отыскание произве­дения 0,25 15 15 (–4), использовал следующую последова­тельность действий: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Какие законы он использовал?

11. Какой множитель алгебраического выражения называ­ют коэффициентом?

12. Как найти коэффициент произведения, в котором не­сколько буквенных и числовых множителей?

13. Чему равен коэффициент выражения: a; – a; ab; – ab?

14. Сформулируйте распределительный закон умножения. Запишите его с помощью букв.

15. Какие слагаемые алгебраической суммы называют по­добными?

16. Объясните, что значит привести подобные слагаемые.

17. Объясните, с помощью каких законов выполняется при­ведение подобных слагаемых в выражении 5,2y – 8a – 4,8y – 2а.

18. Каково правило деления рациональных чисел с одина­ковыми знаками?

19. По какому правилу выполняют деление рациональных чисел с разными знаками?

20. В каком случае частное двух рациональных чисел рав­но нулю?

21. В каком порядке выполняют совместные действия с рациональными числами?

Отдельные вопросы могут быть предметом коллективного обсуждения, другие – листов взаимоконтроля учащихся, воз­можно на основе некоторых вопросов провести математический диктант и т.д.

Последующая серия упражнений направлена на контроль, оценку, коррекцию умений учащихся. Возможны различные фор­мы выполнения упражнений: самостоятельное решение, сопровождающееся самоконтролем учащихся, комментиро­ванное решение, выполнение упражнений на доске, устный опрос и т.д. Эта серия охватывает две группы упражнений. Первая группа не требует для выполнения мыслительной деятельности реконструктивного характера, выполнение второй группы пред­полагает реконструкцию знаний и умений по изучаемой теме.