4. Изучение теорем.

Теорема – утверждение, истинность которого устанавливается посредством доказательства. С теоремами учащиеся имеют дело в различных разделах школьного курса математики, но наиболее полно они представлены в курсе геометрии.

Принципы подхода к обучению особенных учащихся теоремам и их доказательствам следуют из трех соображений.

Во-первых, теорема – это новый материал, подлежащий изучению, и с этой точки зрения в изучении теоремы можно выделить следующие этапы: подготовка к изучению нового (пропедевтика); мотивация изучения нового материала; введение нового – организация его восприятия, понимания; закрепление; применение.

Во-вторых, теорема является задачей на доказательство, выражающей некоторое важное отношение, свойство, и поэтому на методику изучения теорем распространяются рекомендации, относящиеся к различным этапам решения задач.

В третьих, изучая с особенными детьми теоремы, следует учитывать специфику их познавательной и эмоционально-волевой деятельности. Содержание курса математики должно быть скорректировано таким образом, чтобы изучение теорем осуществлялось на доступном для рассматриваемой категории школьников уровне.

Охарактеризуем кратко представленные соображения.

Пропедевтика заключается в актуализации необходимых для изучения теоремы знаний. Пропедевтика также предусматривает снятие определенных трудностей – вынесение некоторых моментов доказательства в самостоятельные задачи, которые можно решить до доказательства теоремы. Это особенно актуально для рассматриваемого контингента детей, которых трудности при проведении доказательства иногда вынуждают забыть о самом доказательстве. В качестве примера рассмотрим теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника. Доказательство этой теоремы опирается на следующий прием: чтобы сравнить два угла, надо ввести в рассмотрение третий угол, связанный с этими двумя углами. При доказательстве теоремы используются свойства равнобедренного треугольника и свойство внешнего угла треугольника. Все эти знания необходимо «освежить» в памяти учащихся перед доказательством. Это можно осуществить либо путем опроса учащихся, либо путем выполнения упражнений. Второй путь эффективнее первого, так как при выполнении упражнений аккумулируется восприятие идеи доказательства теоремы и знания, необходимые для доказательства. Примером такого упражнения является следующее: «На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что AB=BD. Доказать, что ВАD больше ВСА». Необходимо специально акцентировать внимание школьников на методе доказательства: сравнение двух углов ( ВАD и ВСА) осуществляется путем введения третьего угла ( ВDA), связанного с данными двумя углами.

Мотивация предполагает повышение интереса к изучаемой теореме. Для этого полезно перед изучением теоремы создать на уроке проблемную ситуацию, разбор которой мотивировал бы необходимость изучения этой теоремы. С этой целью можно использовать различные практические ситуации и мотивационные упражнения.

Организация восприятия и понимания теоремы начинается с ознакомления учащихся с формулировкой теоремы, что может быть осуществлено разными способами: а) учитель подготавливает учащихся к самостоятельному «открытию теоремы»; б) учитель организует работу по сознательному восприятию и пониманию учащимися новой теоремы, формулировка которой сообщается им в готовом виде; в) учитель формулирует теорему сам, без предварительной подготовки учащихся, а затем направляет их усилия на ее усвоение; г) формулировка отрабатывается учащимися самостоятельно по учебнику.

Далее необходима целенаправленная работа по изучению содержания и структуры теоремы. Здесь целесообразно использование следующих методических приемов: выделение условия и заключения теоремы, ее формулировка в условной форме; иллюстрация к содержанию теоремы (чертеж, рисунок, схема, модель); краткая запись содержания теоремы с опорой на чертеж и с использованием необходимой символики; определение вида теоремы, анализ ее логической структуры; упражнения на самостоятельное формулирование теоремы, ее переформулирование в более удобной форме; рассмотрение частных и особых случаев, если они имеются.

Важнейшим этапом в изучении теоремы является ее доказательство.

На этом этапе обдумывается и коллективно обсуждается идея доказательства, осуществляется и оформляется доказа­тельство теоремы.

Ознакомить учащихся с доказательством теоремы можно различными приемами.

Прием 1. Для изложения доказательства теоремы учитель использует частично-поисковый метод, таким образом, активи­зация класса происходит посредством эвристической беседы, которую ведет учитель с учащимися. Этот метод создает дидактические трудно­сти, преодоление которых направляет и стимулирует интеллек­туальную деятельность школьников.

Прием 2. Учитель излагает доказательство теоремы объ­яснительно-иллюстративным методом в форме краткого расска­за, не прерывая его вопросами в адрес учащихся. Этот прием обеспечивает высокое качество изложения до­казательства, позволяет учащимся легче воспринимать после­довательность, обоснованность и другие стороны доказательст­ва. Речь учителя в таком случае выступает для школьников на­учным и логическим образцом оформления доказательства; они учатся строить умозаключения, делать обобщения и выводы. Объяснительно-иллюстративный метод изложения доказа­тельства теоремы, в отличие от частично-поискового, позволя­ет экономить время урока. Этот метод обычно используют в тех случаях, когда доказательство небольшое по объему или же когда теорема доказывается принципиально новым для уча­щихся способом.

К какому бы виду ни относилось то или иное объяснение, к нему следует предъявлять такие требования: обеспечение целесообразного соединения активности учителя и активности учащихся; соответствие методов, приемов и средств обучения, ис­пользуемых учителем при объяснении, выбранному виду объ­яснения; соблюдение полной структуры объяснения (подготови­тельный этап, собственно объяснение, заключительный этап); комплексная реализация воспитывающих, развивающих и обучающих функций объяснения; выбор оптимального варианта объяснения на основе тщательного анализа специфических условий протекания объ­яснения (особенности учебного материала, программные требо­вания, задачи конкретного урока, психолого-педагогические особенности школьников, личные и профессиональные качест­ва учителя), ориентируясь на вид объяснения.

Прием 3. Метод самостоятельного изучения доказательст­ва по учебнику. Учитель выступает здесь в роли консультанта и организатора. Учащимся даются указания к выполнению ра­боты, обращается внимание на основные и наиболее трудные моменты в доказательстве. Для облегчения самостоятельного изучения доказательства теоремы учитель может предложить учащимся готовый план. Заметим, что в учебниках доказательство теорем иногда проводится в форме неполных силлогизмов и тогда задача уче­ника состоит в том, чтобы восполнить недостающие звенья в рассуждениях.

При изучении теорем в классах КРО чаще всего используется второй прием ознакомления учащихся с доказательством, эпизодически – первый прием, третий же прием, учитывая недостатки и особенности детей указанной категории, используется крайне редко.

После получения и осуществления идеи доказательства, записи доказательства теоремы необходимо закрепление полученного доказательства. Оно предшествует закреплению и применению формулировки теоремы. При осуществлении закрепления полученного доказательства можно с помощью вопросов, обращенных к учащимся, снова «пройтись» по всему доказательству, попросить объяснить отдельные шаги доказательства, перечислить все аксиомы, теоремы и определения, которые используются в доказательстве, выяснить, где используется какое-либо данное, все ли условия оказались использованными, какое и почему дополнительное построение оказалось полезным при поиске доказательства, в чем заключается основная идея доказательства, что оказалось несущественным для доказательства и что может быть изменено, нет ли других способов доказательства рассматриваемой теоремы, всегда ли полученное доказательство имеет смысл.

Учеными доказана эффективность приема неоднократного повторения доказательства теоремы (схематическое и развернутое, «в три приема»), направленного на достижение глубокого понима­ния учащимися объяснения. Повторные доказательства долж­ны проводиться на различных уровнях сложности. Вначале объяснение проводится с опорой на рисунок и раскрывается ос­новная идея доказательства (опускаются обоснования, смысл которых понятен учащимся из наглядных соображений). Затем опущенные обоснования восстанавливаются. При третьем «проходе» доказательство повторяется полностью и оформляется письменно.

Установлено (Г.И. Саранцев; М.Н. Перова и др.), что для слабоуспевающих школьников большую трудность представляет усвоение логики доказательства: выделение отдельных шагов доказательства, их обоснование, установление взаимосвязи между отдельными шагами. Одной из форм работы с особенными учащимися, направленной на ус­воение логики доказательства, является использование специ­альных карточек. На карточке изображается таблица, состоя­щая из двух колонок. Одна колонка содержит утверждения, другая – их обоснования, причем в колонках имеются пропу­ски, которые предстоит заполнить ученику. Запишем в виде таблицы (без пропусков) доказательство теоремы о сумме углов треугольника по учебнику А.В. Погорелова.

I. Утверждения	II. Обоснования
1. BD║AC. 2. А и D по разные сторо­ны от прямой ВС. 3. DBC и ACB – внут­ренние накрест лежащие углы при прямых АС и BD и секу­щей ВС. 4. DBC ACB. 5. ABD ABC CBD. 6. ABD ABC ACB. 7. BAC и ABD – внут­ренние односторонние углы при параллельных прямых АС и BD и секущей ВС. 8. BAC ABD=180°. 9. BAC ABC ACB=180°.	По построению. По построению. По определению внутрен­них накрест лежащих углов. По свойству внутренних накрест лежащих углов при парал-лельных прямых и секущей. ВС – внутренний луч уг­ла ABD. Утверждения 4, 5. По определению внутрен­них односторонних углов при параллельных прямых и секу­щей. По свойству внутренних односторонних углов при па­раллельных прямых и секу­щей. Утверждения 6, 8.

Один из вариантов карточки можно составить на основе дан­ной таблицы, если сделать в ней некоторые пропуски. Например, можно оставить пустыми клетки: II, 1; II, 3–6; I, 7–8; II, 8; I, 2. (Римская цифра означает номер столбца в таблице, а следу­ющие за ней арабские цифры – номер строки в данном столбце.)

Известно, что доказательство теоремы с опорой на один и тот же рисунок ведет к формальному его усвоению. Поэтому необходимо осуществлять доказательство теоремы с опорой на различные рисунки. Однако это вызывает большие трудности у особенных учащихся. Использование указан­ных карточек способствует преодолению этих трудностей. Карточки могут использоваться при самостоятельной работе уча­щихся на уроке и при выполнении домашнего задания. Их можно видоизменять с учетом индивидуальных возможностей учащихся. Количество пропусков в карточке зависит от того, как ученик ориентируется в материале. Если хорошо, то про­пусков в его карточке больше; если хуже – меньше. (Некото­рые учащиеся доказывают теорему без карточек.)

Работа с такими карточками требует от учащихся воспро­изведения всей цепи рассуждений, способствует усвоению сущ­ности дедуктивного метода, ускоряет математическое развитие учащихся; корригирует их недостатки.

Еще один прием, позволяющий слабоуспевающим учащимся закрепить доказательство изученной теоремы, – использование тетради с печатной основой. Приведем в качестве примера образец записи в такой тетради доказательства теоремы: «Если в треугольнике ABC медиана BD является высотой, то треугольник ABC – равнобедренный».

Пусть в Δ ABC BD – медиана и ­­__________. Так как BD – медиана, то ________ = ________. Так как BD – высота, то ________ = _________.

Значит, в Δ ABD и Δ BCD AD =_________; BD – __________ сторона; BDA=______. Значит, по _______ признаку ________ Δ ABD=_____. Отсюда AB=_______, а это означает, что Δ ABC – ___________.

В целях облегчения запоминания особенными учащимися формулировок теорем целесообразно их поэлементное усвоение. Для этого формулировка теоремы разбивается на отдельные элементы (в тексте элементы отделяются вертикальной чертой), после чего каждый из элементов используется при выполнении упражнений. Например. «Квадрат двучлена │ равен сумме трех выражений: │ квадрата первого члена, │ удвоенного произведения первого члена на второй│ и квадрата второго члена». Один из учащихся вызывается к доске, другой работает с текстом, остальные выполняют упражнения с последовательным использованием каждого элемента в тетрадях.

Верны ли равенства:

а) б)

в) г)

д)

Ученик читает: «Квадрат двучлена», другие учащиеся убеждаются, что выражение, например, есть квадрат двучлена и т.д., последовательно соотнося каждый элемент формулировки теоремы с соответствующим элементом выражения. Указанное соотнесение может выполняться учащимися самостоятельно при контроле учителем их действий.

Существуют и другие, не менее эффективные приемы закрепления теорем, и учитель может выбрать тот из них, который в данный момент будет наиболее эффективен, однако основным средством закрепления теорем является их применение к решению задач.

На этапе практического применения теоремы возможно использование следующих методических приемов: построение «родословной» теоремы; показ места и роли изученной теоремы в данной теме или теории; рассмотрение практических приложений теоремы; обобщение теоремы (если оно возможно); решение задач на применение новой теоремы (задачи, которые используются для отработки теоремы, должны быть разнообразны как по содержанию, так и по методам решения. На первых порах отработки теоремы учащимся следует предлагать алгоритмические задачи, решение которых предполагает непосредственное применение изученной теоремы. Затем учащимся могут быть предложены задачи полуалгоритмического и эвристического характера); упражнения на систематизацию теорем.

Наличие всех рассмотренных этапов при обучении каждой теореме требует большого расхода времени. В полном, развернутом виде все этапы могут быть представлены лишь в отдельных случаях. В различных конкретных ситуациях на первый план выдвигается то один, то другой этап. Предпочтение отдается то поиску формулировки, то обучению записи полученного доказательства, то исследованию – в зависимости от ситуации.