1 Операция объединения

Объединением нечетких множеств и называется множество:

,

где

Предположим, на интервале от [0; 0,4] функция принадлежности (ФП) описывается выражением (1):

(1)

Графическое изображение функции (1) при a=0 и b=0,4 приведено на рисунке 29.

Рисунок 29 – ФП для выражения (1)

Предположим, на интервале [0,2; 0,8] функция принадлежности описывается выражением (2):

(2)

Графическое изображение функции (1) при a=0,2; c=0,3; d=0,7; b=0,8 приведено на рисунке 30.

Рисунок 30 – ФП для выражения (2)

Тогда в результате выполнения операции объединения общий вид ФП будет такой (рисунок 31).

Рисунок 31 – Результат выполнения операции объединения

2 Операция пересечения

Пересечением нечетких множеств Ã и B̃ называется множество:

,

где

.

Для условий предыдущего примера результат операции пересечения будет иметь вид (рисунок 32):

Рисунок 32 – Результат выполнения операции пересечения

3 Операция дополнения

Дополнением нечеткого множества Ã называется множество

,

где

.

Носителем нечёткого множества ̃ будет являться множество , т. е. множество тех элементов , для которых функция принадлежности .

Предположим, на интервале от [0,1; 0,5] функция принадлежности описывается выражением (3):

(3)

Графическое изображение функции (3) при a=0,1 c=0,3 и b=0,5 приведено на рисунке 33. На этом же рисунке приведена и функция

Рисунок 33 – Результат выполнения операции дополнения

3. Операции над нечеткими множествами

Теперь, когда мы понимаем что такое нечеткие множества, мы можем определить основные операции над ними. Подобно операциям над четкими множествами, нечеткие также можно пересекать, объединять и инвертировать. L. A. Zadeh в своей первой статье относительно нечетких множеств,  предложил оператор минимума для пересечения и оператор максимума для объединения двух нечетких множеств. Видно, что эти операторы совпадают с объединением и пересечением, если мы рассматриваем только степени принадлежности 0 и 1.

3.1. Операция ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Рассмотрим пример 1. Пусть А нечеткий интервал между 5 и 8 и B нечеткое число приблизительно 4 (рисунок 3).

 

Рисунок 3 – Функции принадлежности к примеру 1

На рисунке 4 показано пересечение нечеткого множества между 5 и 8 с приблизительно 4 (обратите внимание на синюю строку).

Рисунок 4 – Функции принадлежности к примеру 1

3.2. Операция ОБЪЕДИНЕНИЯ

Объединение нечеткого множества между 5 и 8 с приблизительно 4 показано на рисунке 5.

Рисунок 5 – Функции принадлежности к примеру 1

3.3. Операция ИНВЕРСИЯ

Рисунок 6 дает пример инверсии. Синяя строка - ИНВЕРСИЯ нечеткого множества A.

Рисунок 6

1 ОПЕРАЦИЯ ОБЪЕДИНЕНИЯ

Предположим, на интервале от [0; 0,4] функция принадлежности описывается выражением (1):

(1)

Графическое изображение функции (1) при a=0 и b=0,4 приведено на рисунке 1.

Рисунок 1 – ФП для выражения (1)

Предположим, на интервале [0,2; 0,8] функция принадлежности описывается выражением (2):

(2)

Графическое изображение функции (1) при a=0,2; c=0,3; d=0,7; b=0,8 приведено на рисунке 2.

Рисунок 2 – ФП для выражения (2)

Тогда в результате выполнения операции объединения общий вид ФП будет такой (рисунок 3).

Рисунок 3 – Результат выполнения операции объединения