Проверка статистической гипотезы о генеральной доле

Пусть генеральная совокупность содержит элементов, а из них элементов обладают некоторым свойством. Тогда доля элементов в генеральной совокупности, обладающая этим свойством, равна . Эту долю можно интерпретировать как вероятность того, что произвольно и случайно взятый из генеральной совокупности элемент будет обладать этим свойством. Величина называется генеральной долей.

Рассмотрим процедуру проверки статистической гипотезы о том, что генеральная доля равна какому-то наперёд заданному числу . Это означает, что ставится задача проверить нулевую гипотезу . В качестве альтернативной гипотезы можно выбрать следующие варианты: - двусторонняя, - односторонняя, - тоже односторонняя.

Если построена выборка из элементов, а в ней этим свойством обладает элементов, то доля элементов выборки, обладающих этим свойством, будет равна . Эта доля называется выборочной долей или относительной частотой этого свойства в выборке. Можно доказать, что выборочная доля является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли для соответствующего свойства.

Можно доказать, что если объём выборки достаточно велик, в частности, превышает 500 элементов, выборочная доля является случайной величиной, распределённой по закону, близкому к нормальному. В таком случае в качестве статистического критерия для проверки нулевой гипотезы можно использовать -оценку, имеющую стандартное нормальное распределение: .

Если нулевая гипотеза верна, то . Следовательно, . И тогда статистический критерий для проверки нулевой гипотезы получает такой вид: .

Вычисленное значение -оценки следует сравнить с критическим. А вывод о том, принимать или отклонять нулевую гипотезу определяется тем, как сформулированы альтернативные гипотезы.

Пусть уровень значимости равен . Напомним, что уровень значимости задаёт исследователь из своих содержательных соображений, используя свой опыт проверки аналогичных гипотез. По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение .

Случай 1. Альтернативная гипотеза представлена двусторонним неравенством (двусторонняя гипотеза).

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Случай 2. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством (односторонняя гипотеза).

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Случай 3. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством (односторонняя гипотеза).

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Пример. В выборке из 1000 респондентов оказалось 200 голубоглазых. Известно, что в генеральной совокупности доля голубоглазых составляет 0,25. Можно ли на 95% уровне значимости утверждать, что сформированная выборка является репрезентативной по цвету глаз?

Нулевой гипотезой будем считать равенство доли голубоглазых в генеральной совокупности и в выборке, а альтернативной двусторонней гипотезой – что эти доли не равны. Вычисляем значение критерия, т.е. Z-оценку в данном случае при объёме выборки , доле голубоглазых в генеральной совокупности и их доле в выборке : . При этом по таблицам или в Microsoft Excel, используя функцию =НОРМСТОБР, можно найти критическое значение этого критерия для уровня значимости 0,95. Это критическое значение равно 1,6449, оно существенно меньше по модулю, чем вычисленное значение критерия для сравнения долей голубоглазых в генеральной совокупности и в выборке. Поэтому нет оснований принимать нулевую гипотезу, получается, что она должна быть отвергнута, и на уровне значимости 0,95 эти доли существенно различаются.