Проверка статистической гипотезы о равенстве средних

Пусть и - две случайные величины, распределённые обе по нормальному закону с неизвестными математическими ожиданиями и известными дисперсиями и соответственно. Процедуры и выводы этого раздела можно применять и в тех случаях, когда случайные величины и , оставаясь независимыми, распределены не точно по нормальному закону, но близко к нему.

По независимым выборкам из и , объёмы которых равны соответственно и , определены выборочные средние и .

Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что математические ожидания генеральных совокупностей и являются равными:

- нулевая гипотеза;

, или - альтернативные гипотезы.

Как известно, выборочные средние являются несмещёнными оценками генеральных средних или математических ожиданий, т.е. и , где и - это случайные величины, являющиеся выборочными средними для и соответственно. Тогда можно переформулировать нулевую и альтернативную гипотезы уже для средних:

- нулевая гипотеза;

, или - альтернативные гипотезы.

В качестве статистического критерия для проверки этих гипотез можно использовать случайную величину - - оценку следующего вида:

.

Тогда можно доказать, что

Для доказательства преобразуем . Но выборочная дисперсия может быть выражена через дисперсию генеральной совокупности: Аналогично: . Следовательно, . Тогда статистический критерий и принимает вид:

Этот статистический критерий имеет стандартное нормальное распределение. Критическая область этого критерия определяется в зависимости от альтернативной гипотезы.

Случай 1. Альтернативная гипотеза представлена двусторонним неравенством (двусторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Случай 2. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством (односторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Случай 3. Альтернативная гипотеза представлена односторонним неравенством (односторонняя гипотеза).

Пусть уровень значимости равен . По таблицам или, например, в Excel необходимо определить значение - границу критической области. Это значение аргумента, при котором стандартная нормальная величина принимает значение .

Критическая область для такой альтернативной гипотезы будет задаваться неравенством: . Если это неравенство выполняется, нет оснований принимать нулевую гипотезу, т.е. она должна быть отклонена, поскольку значение статистического критерия попадает в критическую область.

Если дисперсии генеральных совокупностей и неизвестны, то применить указанный в этом разделе статистический критерий невозможно. Более того, точного решения этой задачи при неравных дисперсиях генеральных совокупностей, что чаще всего и бывает, до настоящего времени нет. На практике используются различные приближения.

Одно их таких приближений такое. Можно доказать, что в случае объёмов выборок из и не менее 30 элементов каждая, выборочные средние распределены близко к нормальному закону, а выборочные дисперсии являются хорошими оценками генеральных дисперсий. Поэтому в случае больших выборок неизвестные дисперсии генеральных совокупностей и можно заменить их несмещёнными оценками с помощью выборочных дисперсий. Тогда для проверки той же самой нулевой гипотезы можно использовать такой статистический критерий:

, где и - это несмещённые выборочные оценки дисперсии генеральных совокупностей и соответственно:

и

Дальнейшая процедура проверки статистической гипотезы не меняется, она полностью повторяет ту, которая была описана для случая известных дисперсий генеральных совокупностей.

Пример. Была измерена скорость чтения у детей. До обучения чтению по некоторой методике средняя скорость чтения составляла 100 слов в минуту со стандартным отклонением 12 для 100 обследованных детей. После обучения чтению по этой методике только 81 ребенка их скорость чтения в среднем составила 130 слов в минуту при стандартном отклонении 14. Можно ли на основании применения того или иного статистического критерия утверждать, есть эффект обучения детей чтению или нет?

Нулевой гипотезой будем считать отсутствие существенных различий в скоростях чтения до и после обучения, а альтернативной гипотезой – наличие таких отличий. Таким образом, мы проверяем двустороннюю гипотезу.

В данном случае можно применить критерий сравнения средних по Z-оценке, т.е. считая, что данные имеют близкие к нормальным распределения и до обучения, и после обучения чтению. В этом случае: распределение X – это распределение скоростей чтения до обучения, распределение Y – это распределение скоростей чтения после обучения по методике, – это средняя скорость чтения до обучения, – это средняя скорость чтения после обучения по методике, – это дисперсия распределения X, – это дисперсия распределения Y, – это размер выборки до обучения чтению, а – это размер выборки после обучения чтению по методике.

Вычисляем значение статистического критерия . По таблицам или с помощью функции =НОРМСТОБР в Microsoft Excel вычисляем критические значения для этого критерия на уровнях значимости 0,95 и 0,99. Получаются, соответственно, критические значения 1,6449 и 2,3263. Значение статистического критерия, вычисленного для сравнения скоростей чтения до и после обучения по модулю существенно больше и одного и другого критического значения. Следовательно, наше значение статистического критерия, показывающее различия в скоростях чтения, лежит вне области допустимых значения критерия. Поэтому нулевая гипотеза должна быть отвергнута на обоих уровнях значимости, что означает статистическое подтверждение наличия эффекта обучения чтению по применённой методике обучения.