Доверительный интервал для генеральной доли

Пусть генеральная совокупность содержит элементов, а из них элементов обладают некоторым свойством. Тогда доля элементов в генеральной совокупности, обладающая этим свойством, равна . Эту долю можно интерпретировать как вероятность того, что произвольно и случайно взятый из генеральной совокупности элемент будет обладать этим свойством. Величина называется генеральной долей.

Генеральная доля непосредственно может быть определена в переписи генеральной совокупности. Оценка генеральной доли может быть дана по выборке из генеральной совокупности.

Если построена выборка из элементов, а в ней этим свойством обладает элементов, то доля элементов выборки, обладающих этим свойством, будет равна , которая называется выборочной долей или относительной частотой этого свойства в выборке. Можно доказать, что выборочная доля является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли для соответствующего свойства.

Если объём выборки достаточно велик, а доля элементов в генеральной совокупности, обладающая рассматриваемым свойством не очень мала, то можно считать, что случайная величина распределена по нормальному закону. Поскольку мы ранее обосновали, что математическое ожидание выборочной доли равно генеральной доле, т.е. , то можно записать , где для повторной выборки и для бесповторной выборки, а - это объём генеральной совокупности, - выборочная доля, а .

Следовательно, из уравнения нужно определить значение , а потом значение половины ширины доверительного интервала из соотношения . Тогда эта половина доверительного интервала будет . Получилось, что на уровне доверительной вероятности значение генеральной доли находится внутри доверительного интервала , т.е. где вычисляется соответственно по формулам повторной или бесповторной выборок.

Таким образом, последовательность действий для определения доверительного интервала доли в генеральной совокупности по выборочной доле с заданной доверительной вероятностью должна быть следующей.

1. Вычисляем долю отсутствия интересующего нас признака .

2. Вычисляем несмещённую оценку стандартного квадратичного отклонения для повторной выборки или для бесповторной выборки (этот вариант используется, когда объём выборки невелик).

3. Вычисляем значение половины доверительной вероятности .

4. По таблицам функции Лапласа или вычислениями в Microsoft Excel находим такое значение , для которого . При вычислениях в Microsoft Excel, а иногда и при использовании статистических таблиц часто вместо функции Лапласа используют функцию . В таких случаях для пересчёта значений нужно воспользоваться соотношением и тогда решать уравнение: , т.е. искать такое значение , для которого или записанное иначе .

5. Вычисляется половина доверительного интервала по формуле .

6. Доверительный интервал записывается в виде или .

На этом вычисление доверительного интервала при данных условиях заканчивается.