Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном стандартном квадратичном отклонении

Пусть теперь остаётся неизвестным как значение математического ожидания некоторого параметра генеральной совокупности , так и значение его дисперсии в этой генеральной совокупности. Но, как и ранее, нам необходимо найти значение математического ожидания этого параметра генеральной совокупности .

Как и ранее, предполагаем, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Это не всегда легко проверить. Часто для проверки используются те или иные варианты законов больших чисел. Обычно, например, распределения, близкие к нормальным получаются в ситуациях действия многих относительно слабых и независимых факторов, которые могут определить значение этого параметра в генеральной совокупности.

Напомним, что существует несмещённая оценка стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности, и такой оценкой является величина .

Построим новую случайную величину . Можно доказать, что эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Значения этой случайной величины будем обозначать через .

К распределению Стьюдента целесообразно перейти потому, что как доказывается оно не зависит от неизвестных нам параметров генеральной совокупности и . Тогда аналогично предыдущему можно решить уравнение . Решением этого уравнения является - значение аргумента функции распределения Стьюдента, для которого значение равно при числе степеней свободы . Это значение аргумента можно найти либо по таблицам функции распределения Стьюдента, либо расчётным путём из функции, обратной к функции распределения Стьюдента. Последняя возможность имеется, например, в электронных таблицах Microsoft Excel. Нужно только помнить, что значения функции распределения Стьюдента нужно использовать для степеней свободы, т.е. на 1 меньшую объёма выборки. Можно доказать, что при объёме выборки в расчётах интервальных оценок можно пользоваться функцией Лапласа вместо функции распределения Стьюдента для степеней свободы.

После определения можно утверждать, что с доверительной вероятностью неизвестное значение средней параметра генеральной совокупности находится в доверительном интервале , т.е. , где - это реализация средней в сделанной выборке из генеральной совокупности, а - это несмещённая оценка стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности, сделанная по этой выборке.

Таким образом, последовательность действий для определения доверительного интервала математического ожидания некоторого параметра в генеральной совокупности при неизвестном значении дисперсии распределения этого параметра генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью должна быть следующей.

1. Вычисляем несмещённую оценку стандартного квадратичного отклонения значений рассматриваемого параметра генеральной совокупности .

2. По таблицам t-распределения Стьюдента или вычислениями в Microsoft Excel находим такое значение , для которого . Нужно использовать так называемую двустороннюю постановку вопроса, чтобы доверительная вероятность определяла ширину всего доверительного интервала, а не его половины. В случае t-распределения Стьюдента вычислять половину доверительной вероятности не следует.

3. Вычисляется половина доверительного интервала по формуле .

4. Доверительный интервал записывается в виде или .

На этом вычисление доверительного интервала при данных условиях заканчивается.