Основные задачи интервального оценивания

В интервальном оценивании чаще всего решается одна из следующих задач:

1. Известны объём выборки и доверительная вероятность, либо они просто заданы техническим заданием на проведение исследования. Необходимо найти доверительный интервал для значений того или иного параметра генеральной совокупности.

2. Известны объём выборки и ширина доверительного интервала, т.е. известна требуемая точность определения значения параметра генеральной совокупности. Необходимо найти доверительную вероятность, с которой в такой доверительный интервал будут попадать значения того или иного параметра генеральной совокупности. Это задача прогноза того, с какой вероятностью будет получена интервальная оценка, если исследователи зададут тот или иной доверительный интервал или его ширину в симметричном случае.

3. Известны ширина доверительного интервала и доверительная вероятность, с которой в такой доверительный интервал будут попадать значения того или иного параметра генеральной совокупности. Эти значения ширины доверительного интервала и доверительной вероятности, т.е. указание точности необходимого измерения значения параметра генеральной совокупности, могут быть просто заданы техническим заданием на проведение исследования. Необходимо найти объём случайной выборки, обеспечивающий значениям ширины доверительного интервала и доверительной вероятности соответствующую точность интервального оценивания.

Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении

Известно значение дисперсии распределения некоторого параметра генеральной совокупности. Обозначим неизвестное нам значение математического ожидания этого параметра генеральной совокупности через , интервальную оценку которого нам необходимо найти.

Предполагаем, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Это не всегда легко проверить. Часто для проверки используются те или иные варианты законов больших чисел. Обычно, например, распределения, близкие к нормальным получаются в ситуациях действия многих относительно слабых и независимых факторов, которые могут определить значение этого параметра в генеральной совокупности.

В большинстве случаев необходимо не то, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Пусть сделана выборка из распределения для случайной величины . Достаточно того, чтобы по нормальному закону были распределены значения выборочной средней . Можно доказать, что при достаточно больших объёмах выборок ( ) закон распределения выборочной средней будет близок к нормальному. Этот вывод обосновывается применением законов больших чисел.

Как мы уже выяснили, математическое ожидание выборочной средней равно математическому ожиданию или среднему значений в генеральной совокупности: , а дисперсия выборочной средней будет . Тогда стандартное квадратичное отклонение для будет равно .

Предположим, что мы задали доверительную вероятность , с которой значение среднего генеральной совокупности попадает в доверительный интервал, т.е. выполняется . В этом соотношении известно, задано, а нужно определить. Поскольку является случайной величиной, распределённой по нормальному закону, для неё по свойствам функции распределения для нормального закона:

Напомним, что здесь - это функция Лапласа, определяющая значения функции распределения стандартной нормальной случайной величины с математическим ожиданием или средней, равной 0, а дисперсией – 1.

У нас получилось, что . Из этого соотношения нужно найти . Если мы для удобства обозначим через , то получим возможность выразить через значение половины ширины доверительного интервала: . А значение определяется из уравнения . На практике значение определяют либо по таблицам функции Лапласа, либо расчётным путём из функции, обратной к функции Лапласа. Последняя возможность имеется, например, в электронных таблицах Microsoft Excel.

В результате получилось, что при заданном значении дисперсии распределения значений параметра в генеральной совокупности на уровне доверительной вероятности значение его средней в генеральной совокупности находится внутри доверительного интервала , т.е. , где - это реализация средней в сделанной выборке из генеральной совокупности.

Как видно, при возрастании объёма выборки точность такой интервальной оценки увеличивается, потому что значение уменьшается. С другой стороны, - это возрастающая функция, поэтому из уравнения получается, что увеличение уровня доверительной вероятности приводит к увеличению значения , а, следовательно, и , т.е. приводит к снижению точности интервальной оценки. Можно сказать, что чем точнее интервальная оценка, тем ниже её доверительная вероятность, а чем менее точна интервальная оценка, тем с большей точностью её можно сделать.

Заметим, что эти формулы были получены для повторной выборки. Для бесповторной выборки логика вывода остаётся неизменной, но необходимо использовать дополнительный множитель в определении , где - это объём генеральной совокупности. Если мало, например, когда объём генеральной совокупности велик или бесповторная выборка имеет объём малый относительно объёма генеральной совокупности, множитель с высокой точностью равен 1, и им можно пренебречь. В этом случае для бесповторной выборки можно использовать те же формулы, что и для повторной без существенного снижения уровня точности определения ширины доверительного интервала.

Таким образом, последовательность действий для определения доверительного интервала математического ожидания некоторого параметра в генеральной совокупности при известном значении дисперсии распределения этого параметра генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью должна быть следующей.

1. Вычисляем значение половины доверительной вероятности .

2. По таблицам функции Лапласа или вычислениями в Microsoft Excel находим такое значение , для которого . При вычислениях в Microsoft Excel, а иногда и при использовании статистических таблиц часто вместо функции Лапласа используют функцию . В таких случаях для пересчёта значений нужно воспользоваться соотношением и тогда решать уравнение: , т.е. искать такое значение , для которого или записанное иначе .

3. Вычисляется половина доверительного интервала по формуле .

4. Доверительный интервал записывается в виде или .

На этом вычисление доверительного интервала при данных условиях заканчивается.