Понятие интервальной оценки

При статистическом оценивании параметров генеральной совокупности важно знать, в каких границах могут меняться их значения. Для того, чтобы ответить на такого рода вопросы, оказывается недостаточно знать только значения точечных оценок параметров генеральной совокупности по статистикам выборок. Для ответов на такие вопросы формируются так называемые интервальные оценки параметров генеральных совокупностей.

Интервальной оценкой параметра генеральной совокупности является интервал, внутри которого с высокой вероятностью находится истинное значение этого параметра. Часто такие интервалы строятся вокруг значений точечных оценок параметров генеральных совокупностей по статистикам выборок. Такие интервалы фактически показывают, насколько значения параметров генеральных совокупностей могут отличаться от точечных значений выборочных статистик.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для построения интервальных оценок используются так называемые доверительные интервалы.

Пусть - это статистическая оценка истинного значения параметра генеральной совокупности. Эта оценка может быть сделана по выборке из генеральной совокупности, что чаще всего и бывает, но может быть сделана иным способом. Пусть - это вероятность того, что статистическая оценка отклоняется от истинного значения параметра генеральной совокупности не более чем на : . Тогда доверительный интервал, в котором с вероятностью находится истинное значение параметра генеральной совокупности, – это по определению интервал от до . Концы этого интервала обычно в него включаются, но могут и исключаться. Если концы включены, то доверительный интервал записывается как , если концы не включены, то - .

Чем меньше - половина ширины доверительного интервала, тем точнее оценка параметра генеральной совокупности. Поэтому число можно назвать точностью оценки этого параметра.

Как правило, статистические методы не позволяют утверждать, что выполняется неравенство , т.е. статистическая оценка отклоняется от истинного значения параметра генеральной совокупности не более чем на . Обычно выполнение этого неравенства можно утверждать только с некоторой вероятностью , причём в качестве часто берут числа, близкие к 1, в частности, 0,95; 0,99 или даже 0,999. Можно считать, что вероятность , которую называют доверительной вероятностью, является показателем надёжности интервальной оценки параметра генеральной совокупности. Такой показатель надёжности невозможно было бы ввести для точечных оценок.

Как правило, доверительный интервал строят именно так, чтобы он был симметричным относительно истинного значения параметра генеральной совокупности. Но во многих случаях истинное значение этого параметра узнать невозможно. В таких случаях используется более общее определение доверительного интервала: это любой интервал или , внутри которого с вероятностью находится истинное значение параметра генеральной совокупности. Фактически получается, что для построения доверительного интервала нужно знать или как-то определить эту вероятностью и две статистические оценки и - две границы значений значения параметра генеральной совокупности. Следовательно, интервальные оценки должны быть точнее, чем точечные. Фактически, интервальное оценивание задаёт точность измерения параметра генеральной совокупности.

И, действительно, интервальные оценки чаще используются в практике аналитической статистики. Но их формирование очень часто основано на определении тех или иных точечных оценок. Особенно хорошо это видно, когда строятся симметричные доверительные интервалы, потому что их почти всегда строят вокруг несмещённых оценок, получаемых как значения выборочных статистик.

Метод доверительных интервалов в математической статистике разработал американский статистик Ю. Нейман, используя идеи английского статистика Р. Фишера.