Статистическая оценка вероятности или генеральной доли

Пусть генеральная совокупность содержит элементов, а из них элементов обладают некоторым свойством. Тогда доля элементов в генеральной совокупности, обладающая этим свойством, равна . Эту долю можно интерпретировать как вероятность того, что произвольно и случайно взятый из генеральной совокупности элемент будет обладать этим свойством. Величина называется генеральной долей.

Генеральная доля непосредственно может быть определена в переписи генеральной совокупности. Оценка генеральной доли может быть дана по выборке из генеральной совокупности.

Если построена выборка из элементов, а в ней этим свойством обладает элементов, то доля элементов выборки, обладающих этим свойством, будет равна , которая называется выборочной долей или относительной частотой этого свойства в выборке. Можно доказать, что выборочная доля является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли для соответствующего свойства.

Будем использовать ту же модель выборки, что и в предыдущих разделах. Пусть сделана выборка из распределения для случайной величины . Независимые измерения или наблюдения являются реализацией этой выборки.

При определении выборочной доли в нашей модели принимает значение 1, если реализация этой случайной величины обладает исследуемым нами свойством элементов генеральной совокупности. Будем считать успехом то, что выбранный элемент обладает исследуемым свойством, а неудачей – что не обладает. Можно считать, что все имеют одинаковые распределения (это по определению выборки) с вероятностями успеха , а вероятностью неудачи .

Определим случайную величину , т.е. общее число успехов или общее число случаев, когда выбранные в реализацию выборки элементы обладают исследуемым свойством. Математическое ожидание отдельной случайной величины можно посчитать прямо по определению: . Тогда дисперсия этой случайной величины равна по определению: .

Следовательно, математическое ожидание случайной величины равно:

Аналогично, дисперсия случайной величины равна:

Теперь можно определить математическое ожидание выборочной доли . Поскольку является постоянной оно равно . Получилось, что математическое ожидание выборочной доли равно генеральной доле, т.е. выборочная доля является несмещённой оценкой генеральной доли. Можно доказать, что эта же оценка является эффективной и состоятельной.

Дисперсия выборочной доли поскольку является постоянной равна . Тогда стандартное квадратичное отклонение выборочной доли . Получается, что выборочная доля является тем более эффективной оценкой генеральной доли, чем больше размер выборки. Но рост точности оценивания происходит по квадратичному закону, т.е. при больших выборках приращение точности существенно меньше, чем при малых. Поэтому для оценивания долей или процентов в генеральных совокупностях очень дорого и трудно делать большие выборки. Они себя не оправдывают из-за невысокого роста точности оценивания. В современной социологии чаще всего используют выборки объёмов от 1500-1600 респондентов, до 2000 респондентов, а наибольшими на практике являются выборки в 4000 респондентов. При более высоких объёмах выборки существенно возрастают затраты денег и времени на проведение исследований, а приращение точности оценивания генеральных долей происходит незначительное. Такие исследования проводить экономически невыгодно.

Приведённые формулы справедливы для повторных выборок. Для бесповторных выборок в них необходимо вносить корректировки.

В случае бесповторной выборки математическое ожидание выборочной доли совпадает с генеральной долей, как и в случае повторной выборки: . Но для вычисления дисперсии и стандартного квадратичного отклонения выборочной доли для бесповторной выборки необходимо сделать поправки: и . Здесь - объём выборки, а - объём генеральной совокупности.

В большинстве исследований используют именно бесповторные выборки, чтобы обеспечить в них большее разнообразие информации из генеральных совокупностей.

Если объём выборки достаточно велик и при этом отношение объёма выборки к объёму генеральной совокупности мало, то закон распределения выборочной доли будет близок к нормальному. Это свойство выборочных долей часто используют в проведении практических исследований.