Статистическая оценка генеральной дисперсии

По аналогии со статистической оценкой среднего в генеральной совокупности можно предположить, что статистической оценкой генеральной дисперсии будет выборочная дисперсия. Однако такой вывод не будет правильным.

Пусть сделана выборка из распределения для случайной величины . Независимые измерения или наблюдения являются реализацией этой выборки.

Обозначим . Статистика называется выборочным средним и используется в качестве точечной оценки среднего генеральной совокупности. является также и случайной величиной. Реально для вычислений используется значение этой статистики , которое получается как среднее арифметическое значений реализации этой выборки: .

Обозначим . Статистика называется выборочной дисперсией, она является также и случайной величиной. Реально для вычислений используется значение этой статистики , которое получается как дисперсия значений реализации этой выборки: .

Докажем, что статистика допускает следующее представление: . Это представление обосновывается следующими алгебраическими преобразованиями:

По свойствам дисперсии статистика не изменится, если к каждой случайной величине из выборки прибавить одну и ту же постоянную величину . Действительно, в этом случае среднее сдвинется на ту же величину: , все разности случайных величин и среднего не изменятся: . Поскольку не изменятся все такие разности, не изменится и значение статистики .

Поэтому, исследуя статистику , мы можем ограничиться случаем, когда математическое ожидание каждой из случайных величин (а оно у них одинаковое, поскольку все они имеют одно и то же распределение) равно нулю. Для дисперсии аналогично преобразованию статистики можно доказать, что дисперсия любой случайной величины . Действительно, по определению дисперсии . Раскроем скобки, пользуясь формулой квадрата разности:

Поскольку в нашем случае , получается, что . С другой стороны, дисперсия каждой случайной величины из выборки равна дисперсии генеральной совокупности: . Следовательно, . Кроме того, , а в нашем случае нулевых математических ожиданий случайных величин будет равно нулю и математическое ожидание случайной величины . Поэтому дисперсия этой случайной величины равна: .

Вычислим теперь математическое ожидание статистики : . Получилось, что статистика является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности . А несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности будет статистика

Действительно, .

Можно доказать, что статистика является не только несмещённой оценкой генеральной дисперсии, но также и состоятельной её оценкой. Но можно также доказать, что эта оценка не является эффективной.

В соответствии с этой формулой несмещённой оценкой стандартного квадратичного отклонения генеральной совокупности является величина .

Реализация несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности может быть выражена формулой: . Здесь независимые измерения или наблюдения являются реализацией этой выборки.

Заметим также, что при больших различие между статистиками и будет незначительным. Поэтому при больших для оценивания дисперсии генеральной совокупности можно использовать статистику . Это следует делать, когда смещение этой статистики ниже ошибки вычислений.