Выборочное среднее как статистическая оценка среднего в генеральной совокупности

Пусть сделана выборка из распределения для случайной величины . Независимые измерения или наблюдения являются реализацией этой выборки.

Обозначим . Статистика называется выборочным средним и используется в качестве точечной оценки среднего генеральной совокупности. является также и случайной величиной. Реально для вычислений используется значение этой статистики , которое получается как среднее арифметическое значений реализации этой выборки: .

Докажем, что выборочное среднее является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности.

Таким образом получилось, что , т.е. математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию или среднему значений в генеральной совокупности. Следовательно, выборочная средняя – это несмещённая оценка среднего в генеральной совокупности.

Можно доказать, что выборочное среднее является также эффективной и состоятельной оценкой средней генеральной совокупности.

Вычислим дисперсию для выборочной средней.

В результате , т.е. дисперсия средней по выборке равна одной n-ой от дисперсии генеральной совокупности. Тогда для стандартного квадратичного отклонения , где - стандартное квадратичное отклонение выборочного среднего, а - стандартное квадратичное отклонение генеральной совокупности. Получилось, что при увеличении объёма выборки до n стандартное квадратичное отклонение выборочного среднего уменьшается в корень из n раз. Следовательно, для повышения эффективности выборочного среднего как оценки среднего генеральной совокупности нужно увеличивать объём выборки. Но при больших объёмах выборки большие увеличения выборки приводят к небольшому росту эффективности этой оценки, потому что стандартное квадратичное отклонение при этом уменьшается в корень квадратный из n раз.

Эти рассуждения и доказательства проведены в предположении, что выборка является повторной, только такие выборки позволяют каждый раз отбирать элемент генеральной совокупности независимо от предыдущих выборов. В случае повторной выборки достаточно большого объёма (большего 30) можно доказать, что случайная величина выборочное среднее , являющаяся суммой достаточно большого числа одинаково распределённых случайных величин , имеет закон распределения, близкий к нормальному.

В реальной ситуации выборку чаще всего делают бесповторной, чтобы получить в выборке большее разнообразие информации. Можно доказать, что и в случае бесповторной выборки выборочное среднее является несмещённой оценкой генерального среднего. Формулы для определения выборочного среднего для бесповторной выборки не меняются. Более того, если объём бесповторной выборки достаточно велик, но при этом выборка составляет незначительную долю генеральной совокупности, что бывает в очень больших генеральных совокупностях, то и в этом случае закон распределения выборочной средней будет близок к нормальному.

Но в случае бесповторной выборки необходимо изменить формулы вычисления дисперсии и стандартного квадратичного отклонения выборочной средней : и , где, как и прежде, n – объём выборки, а N – это объём генеральной совокупности. В случае повторной выборки аналогичные формулы не зависели от объёма генеральной совокупности в силу случайности формирования такой выборки. Если объём генеральной совокупности бесконечен, очень велик или выборка составляет малую долю от генеральной совокупности, то отношение будет очень мало или стремиться к нулю. В таком случае результаты вычисления дисперсии и стандартного квадратичного отклонения не будут отличаться от тех, которые получатся для повторной выборки.

Сравнение формул для повторной и для бесповторной выборок показывает, что дисперсия и стандартное квадратичное отклонение выборочной средней для бесповторной выборки меньше при одинаковом объёме выборки. Это означает, что бесповторная выборка более эффективна, чем повторная. Но этот эффект проявляется лучше для сравнительно небольших выборок.