Графическое представление данных

Существует три основных метода графического представления данных – гистограмма (столбиковая диаграмма), полигон частот и сглаженная кривая (огива).

Гистограмма представляет последовательность столбцов, каждый из которых опирается на один интервал группирования данных, а высота столбца соответствует количеству элементов выборки, попавших в этот интервал группирования. Для построения гистограммы по горизонтальной оси откладываются границы интервалов группирования данных, а по вертикальной оси частоты попадания наблюдений в интервалах.

Пример. Построим гистограмму для частот в границах интервалов, заданных таблицей:

Границы интервалов	Частоты
40-50	2
50-60	4
60-70	5
70-80	8
80-90	7
90-100	7
100-110	4
110-120	1

Рисунок. Гистограмма частот в границах интервалов, заданных таблицей.

Интервалы для построения гистограммы, как правило, берутся равной длины, но это необязательно. Длина интервалов должна быть такой, чтобы каждый интервал оказался достаточно наполненным значениями случайной величины, а число интервалов не было слишком большим для наглядного представления распределения этой случайной величины на графике.

Полигон частот строится во многом, как и гистограмма, только в этом случае по горизонтальной оси откладываются значения середин интервалов сгруппированных данных, а по вертикальной оси – суммарные частоты по каждому интервалу, как и для гистограммы. После этого на координатной плоскости наносятся точки, первая координата каждой из которых соответствует середине интервала группирования, а вторая координата – суммарной частоте по этому интервалу. Для окончательного построения полигона частот эти точки соединяются отрезками прямых с получением кусочно-линейного графика. Этот кусочно-линейный график и является полигоном частот.

Полигон частот для предыдущего примера приведён на следующем рисунке.

Рисунок. Полигон частот для данных предыдущего примера.

Сглаженная кривая или огива иногда используется вместо гистограммы или полигона частот. Основное отличие огивы в том, что она проводится по точкам таким образом, чтобы график не имел острых углов или зубцов. Для ее построения по горизонтальной оси всегда откладываются значения от 0 до 100, они соответствуют частотам в процентах, а сами частоты являются накопленными. Поэтому огива не только гладкая кривая, но и представляющая неубывающую функцию.

Для построение огивы, как правило, по вертикальной, а не по горизонтальной оси откладываются границы интервалов группирования данных. После этого на координатной плоскости наносятся точки, вторая координата которой соответствует границе интервала, а первая координата – накопленной частоте попадания в этот интервал, выраженной в процентах. Для окончательного построения огивы нанесенные точки соединяются гладкой кривой.

В следующем примере в качестве исходных данных для построения огивы используется таблица, полученная после табулирования данных первого примера, но при этом второй столбец этой таблицы (частоты) преобразован в накопленные частоты, а затем третий - в проценты. И именно этот третий столбец используется для построения огивы.

Границы интервалов	Частоты	Накопленные частоты	Накопленные частоты в процентах
40-50	2	2	5
50-60	4	6	16
60-70	5	11	29
70-80	8	19	50
80-90	7	26	68
90-100	7	33	87
100-110	4	37	97
110-120	1	38	100

На рисунке ниже сначала показана огива для накопленных частот в процентах, а проценты отложены по оси абсцисс, горизонтальной. Видно, что огива представляет собой график возрастающей функции, потому что её значения только возрастают при движении по горизонтали слева направо.

Ниже на том же рисунке показана кривая, которая не может быть огивой, потому что не представляет график неубывающей функции, а только такой график возможен для отображения накопленных частот в процентах.

Ещё ниже на том же графике показаны варианты огив для результатов тестирования интеллекта по тесту IQ. Верхняя огива зелёного цвета соответствует ситуации, когда для невысоких значений IQ имеется довольно много индивидов, их получивших в тестировании, а для больших значений IQ таких индивидов оказалось меньше. В результате наглядно видно, что в данном тестировании оказалось больше нормы индивидов с невысокими значениями IQ.

Напротив, нижняя огива синего цвета соответствует ситуации, когда для невысоких значений IQ имеется довольно мало индивидов, их получивших в тестировании, а для больших значений IQ таких индивидов оказалось существенно больше. В результате наглядно видно, что в данном тестировании оказалось больше нормы индивидов с высокими значениями IQ.

Средняя огива красного цвета показывает ситуацию, когда доли индивидов, получивших в тестировании и невысокие, и высокие значения IQ примерно равномерно распределены по вертикальной оси координат. Ведь накопленные частоты растут примерно пропорционально росту величин IQ, т.е. доли получивших всё большие значения IQ примерно совпадают с долями, получивших меньшие значения IQ. Поэтому для такой ситуации можно считать, что в тестировании принимала участие группа индивидов, в которой было сбалансированное их число по долям имеющих как низкие, так и высокие значения IQ. В реальности такого практически никогда не бывает, потому что распределение результатов тестирования на IQ, как правило, бывает близко к нормальному для достаточно больших по размерам групп индивидов. Т.е. существенно больше индивидов имеют по результатам тестирования на IQ средние значения, а малые и большие имеют сравнительно небольшие доли индивидов.

Рисунок. Огива для первого примера, а также, какой огива не может быть, и какой она бывает для теста IQ.