Функция Лапласа

Доказано, что невозможно выразить через элементарные функции функцию распределения (интегральной функции) нормальной случайной величины:

,

где - это математическое ожидание этой случайной величины, а - её стандартное квадратичное отклонение. Однако для расчетов, связанных с нормальной случайной величиной, необходимо знать её значения. Для этих целей вводится функция Лапласа:

.

Для функции Лапласа составлены таблицы значений, которые можно найти в учебнике или задачнике по теории вероятностей. Кроме того, значения этой функции можно вычислить в некоторых современных электронных таблицах. Но, например, в Microsoft Excel, поскольку функции Лапласа нет, вместо неё необходимо использовать функцию стандартного нормального распределения, которая в русскоязычной версии этой программы называется НОРМСТРАСП, и её значения вычисляются по формуле: . Тогда получается . Причина в том, что поскольку как полная вероятность на всей действительной оси, а в силу симметрии функции стандартного нормального распределения половина полной вероятности будет равна . Тогда по свойствам определённого интеграла .

График функции Лапласа является примерно следующим:

Рисунок. График функции Лапласа.

При использовании таблиц значений функции Лапласа следует учитывать, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. По графику функции Лапласа видно, что эта функция имеет значения от -0,5 до 0,5 эти значения не достигая, а асимптотически к ним приближаясь: к -0,5, при , а к 0,5, при .

2. .

3. .

4. , т.е. функция Лапласа является нечетной, поэтому в таблицах приведены значения этой функции только для положительных значений аргумента. Для отрицательных значений аргумента значения функции Лапласа определяются из её нечетности.

5. Функция Лапласа является возрастающей, потому что её производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции: , а эта функция больше нуля на всей своей области определения, поскольку является показательной.

6. При значение функции Лапласа , поэтому в приближённых вычислениях при принято считать, что с точностью до тысячных.

Вероятность попадания значения нормальной случайной величины в заданный промежуток

Функция распределения нормальной случайной величины с параметрами - математическое ожидание и – стандартное квадратичное отклонение выражается через функцию Лапласа следующим образом (при замене переменной , тогда , или ):

Последнее равенство получается из соотношения между функцией распределения стандартной нормальной случайной величины и функцией Лапласа: .

Таким образом, в любых оценках вероятностей для произвольной нормальной случайно величины можно использовать функцию распределения стандартной нормальной случайной величины или функцию Лапласа, но с переходом к некоторой нормализованной переменной . Эта переменная z представляет собой значения стандартной нормальной случайной величины, если x представляют значения произвольной нормальной случайной величины. Ведь математическое ожидание для z равно 0, стандартное квадратичной отклонение равно 1, именно ради этих значений и делается замена переменной .

Определим с помощью этих функций вероятности попадания значений нормальной случайной величины в те или иные интервалы. Напомним, что в силу непрерывности нормальной случайной величины, вероятности её значений в той или иной конкретной точке всегда равны 0. Поэтому для интервалов её значений можно брать как строгие, так и нестрогие границы, добавление вероятностей на этих границах, если они будут, окажутся равными 0, т.е. равны все вероятности .

Поэтому напишем формулу только для первой из таких вероятностей, используя свойства определённого интеграла:

,

где , а .

В результате получается такая последовательность действий для определения вероятности попадания значения нормальной случайной величины в интервал

1. Вычисляем так называемые z-оценки границ интервала: и .

2. Вычисляем разности значений функций распределения стандартной случайной величины или функции Лапласа в границах этих z-оценок. Это искомая будет вероятность: .

При вычислениях в Microsoft Excel удобнее использовать функцию распределения стандартной случайной величины , которая называется НОРМСТРАСП. А при вычислениях по таблицам удобнее использовать функцию Лапласа. Результат получается одинаковым.

Пример. В предположении, что цена акций некой компании на фондовом рынке является нормально распределённой со средним значением 45 долларов США и средним квадратичным отклонением 7 долларов США, определить какова вероятность того, что цена акций станет 1) более 50 долларов США; 2) более 70 долларов США; 3) менее 35 долларов США; 4) от 35 до 55 долларов США; 5) от 40 до 50 долларов США.

1) Вероятность того, что цена акций станет более 50 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены по таблице значений функции Лапласа.

2) Вероятность того, что цена акций станет более 70 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.

3) Вероятность того, что цена акций станет менее 35 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.

4) Вероятность того, что цена акций станет от 35 до 55 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.

5) Вероятность того, что цена акций станет от 40 до 50 долларов США можно записать как . Эти вычисления были произведены в Microsoft Excel с помощью функции НОРМРАСП.