Понятие ковариации двух случайных величин и его свойства
Зависимость между случайными величинами и называется статистической, если изменение значения одной из этих случайных величин приводит к изменению закона распределения другой из них.
Мерой связи случайных величин и является ковариация:
Можно доказать, что ковариацию можно вычислять так:
Свойства ковариации:
Ковариация не меняется при перестановке, изменении порядка случайных величин:
.Для независимых случайных величин их ковариация равна нулю. Обратное утверждение неверно.
Абсолютная величина ковариации двух случайных величин и не превышает среднего арифметического их дисперсий, т.е. произведения их стандартных квадратичных отклонений:
или иначе
.
Если
,
то между двумя случайными величинами
и
существует отрицательная корреляционная
зависимость, т.е. чем больше значение
одной из них, тем более вероятны меньшие
значения другой.
Если
,
то между двумя случайными величинами
и
существует положительная корреляционная
зависимость, т.е. чем больше значение
одной из них, тем более вероятны большие
значения другой.
Коэффициент корреляции двух случайных величин и его свойства
В практике для оценки тесноты статистической зависимости случайных величин более часто используется коэффициент корреляции, а не ковариация. Дело в том, что ковариация является размерной величиной, а коэффициент корреляции – безразмерной. Кроме того, коэффициент корреляции является универсальной мерой тесноты статистической зависимости, стандартизованной для различных случайных величин. Поэтому коэффициент корреляции позволяет сравнивать уровень связи случайных величин разной природы.
Коэффициент корреляции равен:
или в другой записи:
Свойства коэффициента корреляции:
Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает 1:
.Если коэффициент корреляции равен 1 или -1, то случайные величины и связаны линейной зависимостью: при
рост значений одной случайной величины
сопровождается ростом значений другой,
при
рост значений одной случайной величины
сопровождается уменьшением значений
другой.Если случайные величины и независимы, то их коэффициент корреляции равен 0, т.е.
.
Обратное утверждение неверно, т.е. при
значении коэффициента корреляции
равном нулю случайные величины
и
не обязательно будут независимыми.
Законы больших чисел
Законами больших чисел называются несколько теорем теории вероятностей, которые утверждают, что при неограниченном увеличении числа опытов или испытаний и при некоторых дополнительных условиях те или иные средние характеристики этих серий опытов стремятся к некоторым постоянным, т.е. имеют их в качестве пределов последовательностей средних характеристик соответствующих опытов. Эти теоремы отличаются друг от друга дополнительными условиями и теми средними величинами, о которых делаются утверждения этих теорем.
При однократном проведении опыта никогда нельзя заранее определить его результат. Но теоремы больших чисел утверждают, что при достаточно большом числе повторений опытов те или иные средние значения случайных величин становятся близкими к некоторым константам. В каждой теореме больших чисел речь идёт о своих случайных величинах и их средних. Каждая теорема больших чисел определяет условия, при которых проявляются такие закономерности в стабилизации значений средних величин при большом числе опытов.