Ряд распределения двумерной дискретной случайной величины

Двумерная случайная величина является дискретной, если множества значений её компонент являются конечными или счётными.

Для двумерных дискретной случайной величины ряд распределения представляет собой прямоугольную таблицу, называемую матрицей распределения. В этой таблице по строкам стоят значения первой компоненты , т.е. , по столбцам стоят значения второй компоненты , т.е. , а на пересечениях соответствующих строк и столбцов стоят вероятности событий: , где , а .

Матрица распределения двумерной случайной величины :

Общая сумма всех элементов матрицы распределения двумерной случайной величины равна единице, поскольку это сумма вероятностей всех возможных событий:

Плотность распределения для двумерной непрерывной случайной величины

Двумерная случайная величина является непрерывной, если её функция распределения является непрерывной, дифференцируемой по каждому аргументу и существует вторая смешанная производная .

Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины по определению и есть эта вторая смешанная производная в соответствующей точке:

Геометрически плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины представляет собой некоторую поверхность распределения, аналогичную кривой распределения для одномерной случайной величины.

Вероятность подпадания значения двумерной непрерывной случайной величины в произвольную область вычисляется как двумерный интеграл от плотности вероятности по этой области:

.

Переход к двумерной функции распределения:

Геометрически вероятность попадания значения двумерной непрерывной случайной величины в произвольную область представляется объёмом тела под поверхностью распределения, но лежащего выше координатной плоскости.

Двумерная плотность распределения всегда больше или равна нуля, потому что она является вероятностью:

.

Двумерный интеграл от плотности двумерного распределения по всей координатной плоскости равен 1, поскольку это будет полная вероятность:

.

Зависимые и независимые случайные величины

Случайная величина называется независимой от случайной величины , если закон её распределения не зависит от того, какое значение приняла случайная величина .

Для независимых случайных величин и функция распределения двумерной случайной величины, составленной из них, равна произведению функций распределения каждой из этих случайных величин по отдельности:

при любых .

Для независимых непрерывных случайных величин аналогичное соотношение действует для плотностей их распределений:

при любых .

Для дискретных случайных величин аналогичное соотношение действует для вероятностей их значений:

при любых .

В том случае, если эти критерии не выполняются хотя бы в одной точке , случайные величины и являются зависимыми. В случае их зависимости получить закон двумерного их совместного распределения, зная только их одномерные распределения невозможно. В случае их независимости, напротив, их двумерное совместное распределение полностью определяется одномерными распределениями. В том случае, когда случайные величины и являются независимыми, никакой информации о связи между этими распределениями не требуется, если необходимо построить их двумерное совместное распределение.