Эксцесс случайной величины

Эксцесс распределения случайной величины характеризует степень сосредоточенности её значений около центра распределения: чем более высокая такая сосредоточенность, тем выше и уже будет график плотности её распределения. Показатель эксцесса (островершинности) рассчитывается по формуле: , где - это центральный момент 4 порядка, а – это стандартное отклонение, возведённое в 4 степень. Поскольку степени числителя и знаменателя одинаковы эксцесс является безразмерной величиной. При этом принято за эталон отсутствия эксцесса, нулевого эксцесса, брать нормальное распределение. Но можно доказать, что для нормального распределения . Поэтому в формуле для вычисления эксцесса из этой дроби число 3 вычитается.

Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю: . Если эксцесс больше нуля, т.е. , то распределение более островершинное, чем нормальное. Если эксцесс меньше нуля, т.е. , то распределение менее островершинное, чем нормальное. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение ; величина положительного эксцесса может быть бесконечно большой. Как выглядят графики островершинных и плосковершинных плотностей распределения случайных величин в сравнении с нормальным распределением, показано на рисунке.

Рисунок. Иллюстрация островершинных и плосковершинных плотностей распределения случайных величин в сравнении с нормальным распределением.

Асимметрия и эксцесс распределения случайной величины показывают, насколько она отклоняется от нормального закона. При больших асимметриях и эксцессах применять формулы вычислений для нормального распределения не следует. Каким является уровень допустимости асимметрии и эксцесса для использования формул нормального распределения в анализе данных конкретной случайной величины должен определять исследователь на основе своих знаний и опыта.

Совместные распределения случайных величин

Двумерная случайная величина - это упорядоченная совокупность двух случайных величин, которые принимают свои числовые значения в результате проведения одного и того же опыта, принимают значения на одном и том же множестве случайных событий.

Двумерная случайная величина имеет две одномерные компоненты . В зависимости от типов этих компонент двумерные случайные величины бывают:

• дискретными, когда обе их компоненты дискретны;

• непрерывными, когда обе их компоненты непрерывны;

• смешанными, когда одни их компонента дискретна, а другая – непрерывна.

Геометрически двумерную случайную величину можно представить как совокупность точек с координатами на двумерной плоскости, либо как совокупность случайных векторов, направленных из начала координат в точки .

Для двумерных случайных величин можно определить двумерную функцию распределения, которая равна вероятности совместного осуществления событий и :

.

Геометрически двумерная функция распределения может быть представлена вероятностью попадания случайной точки на двумерной плоскости в бесконечный квадрант с вершиной в точке , лежащий левее и ниже этой точки.

Свойства двумерной функции распределения:

1. , поскольку это вероятность.

2. , поскольку это вероятности невозможных событий.

3. , поскольку это вероятность достоверного события.

4. , т.к. неравенство при переходе к такому пределу будет выполняться для любых значений . Аналогично , т.к. неравенство при переходе к такому пределу будет выполняться для любых значений .

5. . Это вероятность попадания значения двумерной случайной величины в прямоугольную область.

Функция распределения двумерной случайной величины может использоваться для любых типов таких случайных величин: дискретных, непрерывных и смешанных.