Характеристики формы распределения случайной величины Понятие моментов случайной величины и z-оценки

Понятие моментов случайной величины обобщает понятия математического ожидания и дисперсии. Моменты используются для более подробного описания особенностей распределения случайной величины. Система моментов распределения впервые была разработана российским математиком П.Л. Чебышевым.

Начальным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание k-ой степени самой этой величины: .

Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание k-ой степени отклонений значений случайной величины от её математического ожидания. Такой момент обозначается и вычисляется по формуле:

Случайная величина называется центрированной, потому что её математическое ожидание равно нулю. Тогда получается, что центральные моменты – это начальные моменты от центрированной по отношению к данной случайной величине.

Стандартной случайной величиной или Z-оценкой случайной величины называется случайная величина , где - это исходная случайная величина, - её математическое ожидание, а - её стандартное отклонение. Для Z-оценки всегда её математическое ожидание равно 0, т.е. , а стандартное отклонение равно 1, т.е. . Кроме того, Z-оценка является безразмерной случайной величиной, все свойства которой точно соответствуют свойствам исходной случайной величины . Поэтому Z-оценки широко используются в теоретической и прикладной статистике для единообразного применения формул, чтобы не нужно было учитывать размерности и масштабы данных.

Коэффициент асимметрии случайной величины

Для получения приблизительного представления о форме распределения случайной величины строят график её ряда распределения (полигон и гистограмму), функции или плотности распределения. В практике статистических исследований приходится встречаться с самими различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения случайной величины предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса. В симметричном распределении, в котором математическое ожидание равно медиане, т.е. , можно считать асимметрия отсутствует. Но чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение между характеристиками центра распределения – математическим ожиданием и медианой.

Простейшим коэффициентом асимметрии распределения случайной величины можно считать , где - это математическое ожидание, - медиана, а - стандартное отклонение случайной величины.

В случае правосторонней асимметрии , левосторонней – . Если , считается, что асимметрия низкая, если – средняя, а при – высокая. Геометрическая иллюстрация правосторонней и левосторонней асимметрии приведена на рисунке ниже. На нём изображены графики плотности распределений соответствующих типов непрерывных случайных величин.

Рисунок. Иллюстрация правосторонней и левосторонней асимметрии на графиках плотностей распределений непрерывных случайных величин.

Существует и другой коэффициент асимметрии распределения случайной величины. Можно доказать, что отличие от нуля центрального момента нечётного порядка свидетельствует об асимметрии распределения случайной величины. В предыдущем показателе мы использовали выражение , аналогичное моменту первого порядка . Но обычно в этом другом коэффициенте асимметрии используют центральный момент третьего порядка , а для того, чтобы этот коэффициент стал безразмерным его делят на куб стандартного отклонения. Получается такой коэффициент асимметрии: . Для этого коэффициента асимметрии, как и для первого в случае правосторонней асимметрии , левосторонней – .