Квантили
Кроме моды и медианы ряды распределений могут характеризоваться квантилями, понятие которых является обобщением понятия медианы. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения, потому что квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности данных.
Более
точно: «квантиль порядка p», который
обозначается
,
и для которого 0<p<1, потому что p – это
вероятность, – это значение случайной
величины, для которого функция
распределения принимает значение p или
имеет место «скачок» со значения меньше
p до значения больше p. Иначе говоря,
«квантиль порядка p» - это такое значение
аргумента функции распределения
случайной величины, что
.
Поскольку по определению функции
распределения
,
можно говорить, что
такое значение случайной величины
,
для которого вероятность
.
Для непрерывных функций распределения,
как правило, существует единственная
квантиль
порядка p, но бывают более сложные
распределения, у которых можно обнаружить
не одну такую квантиль. Эти более сложные
распределения в настоящем курсе не
изучаются.
Медиана
является частным случаем квантиля,
потому что
,
ведь оба эти значения определяют середину
распределения:
для медианы
и
дл квантиля
.
Как правило, для характеристики распределений случайных величин, за исключением случая медианы, выбирают не один, а серию квантилей, расположенных на числовой оси на одинаковых расстояниях друг от друга. Наиболее употребительны для этих целей квартили, которые делят распределение на 4 части, децили, которые делят распределение на 10 частей, а также перцентили, которые делят распределение на 100 частей.
Для
квартилей часто используют такие
обозначения:
,
,
,
Квартиль
используется крайне редко, потому что
он просто характеризует всё распределение.
А 1-й квартиль – это значение, ниже
которого находится 25% совокупности. 2-й
квартиль делит совокупность данным
пополам (это совпадает с медианой), а
3-й квартиль отделяет 25% наибольших
значений.
Для расчета квартилей в версиях Microsoft Excel до 2007 г. использовалась функция =КВАРТИЛЬ(массив;часть). Начиная с версии Microsoft Excel 2010, применяются две функции: =КВАРТИЛЬ.ВКЛ(массив;часть) и =КВАРТИЛЬ.ИСКЛ(массив;часть), дающие несколько различающиеся значения. При этом функция =КВАРТИЛЬ, использовавшаяся ранее соответствует, современной функции =КВАРТИЛЬ.ВКЛ. Для расчета квартилей в Microsoft Excel с помощью вышеприведенных формул массив данных можно не упорядочивать.
В
анализе статистических данных нередко
используется так называемый квартильный
размах
– это разница между 3-м и 1-м квартилями,
т.е.
.
Эта величина позволяет оценить разброс
50% элементов в распределении случайной
величины и не учитывать влияние
экстремальных элементов. У квартильного
размаха
есть одно важное и полезное для анализа
данных свойство: он является робастным,
т.е. не зависит от аномальных отклонений,
не зависит от выбросов данных.
Децили
– это значения признака, которые
ранжированный ряд распределения делят
на 10 равных частей. Расчеты ведутся
аналогично расчетам квартилей:
,
что означает выполнение соотношения
.
При этом децили не совпадают с квартилями,
кроме второго или медианы, когда это
совпадение есть:
.
Аналогично квартильному нередко
используют децильный размах:
.
Децильный размах в распределении доходов
населения показывает, например, долю
тех, кто имеет средние доходы – не
бедствует, но и не является очень богатым.
В
некоторых случаях вместо децилей
используют процентили. Перцентили –
это значения признака, делящие
ранжированный ряд распределения на 100
равных частей. Все вычисления аналогичны
вычислениям децилей и квартилей:
.
Процентили позволяют вычислять как
квартильный размах:
,
так и децильный размах:
.
Нужно ли использовать квантили и какие именно, определяется, как правило, спецификой задачи анализа данных и опытом исследователя.