Свойства дисперсии

Свойства дисперсии одинаковы для всех типов случайных величин, как и для математических ожиданий.

1. , где C – это константа, т.е. дисперсия константы равно нулю, потому что значения такой случайной величины вообще не отклоняются от её средней.

2. т.е. дисперсия любой случайной величины всегда неотрицательна.

3. , если случайные величины независимы. Тогда дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

4. , где a – это какое-то число. Значит, число можно выносить из под знака дисперсии с возведением этого числа в квадрат.

5. , где a и b – это числа, это следствие из предыдущих свойств дисперсии.

6. , т.е. дисперсия является чётной функцией от случайной величины – не имеет значения, вычисляется дисперсия от самой случайной величины или противоположной ей по значениям (со знаками минус). Обе эти дисперсии будут равны.

Другие характеристики центральных тенденций и изменчивости распределений случайных величин

Числовые характеристики случайных величин можно условно разделить на основные и вспомогательные. К основным характеристикам относятся характеристики положения случайной величины и характеристики рассеяния. Характеристики положения указывают некоторую точку на числовой оси, вокруг которой группируются возможные значения случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, мода и медиана случайной величины. Характеристики рассеяния являются некоторой мерой разброса возможных значений случайной величины около своего центра рассеяния, например, математического ожидания. Характеристиками рассеяния являются дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, которая полностью определяется дисперсией, но может быть удобна в практическом применении.

Дополнительные числовые характеристики случайных величин применяются для дальнейшего уточнения их свойств. К таким характеристикам, прежде всего, относятся асимметрия (или скошенность) и эксцесс (или островершинность) закона распределения случайной величины. К дополнительным характеристикам относится и коэффициент вариации случайной величины, который характеризует относительный разброс возможных значений случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины вместе со стандартным отклонением были описаны выше. Опишем теперь другие числовые характеристики случайных величин.

Мода

Модой непрерывной случайной величины X называется такое значение x, при котором плотность распределения вероятностей случайной величины p(x) принимает максимальное значение. Модой для дискретной случайной величины является её наивероятнейшее значение, на практике – наиболее частое значение. Мода обозначается через Mo.

Таким образом, мода – это наиболее часто встречающееся значение в наборе данных. В случае, если данные сгруппированы и построено распределение частот, модой является значение в данных, имеющее наибольшую частоту. Моду можно использовать для измерения центральной тенденции распределения, как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Но необходимо учитывать и ограничения в применении моды для такого использования: мода показывает только расположение наиболее частого значения в данных, но не позволяет учесть другие важные особенности распределения, например, число наблюдений выше или ниже моды, расстояния между модами, если их в распределении несколько, и т.п.

Для нахождения моды непрерывной случайной величины нужно исследовать плотность распределения вероятностей на максимум. Для этого нужно найти стационарные точки, как корни уравнения p′(x) = 0, затем применить к найденным точкам один из достаточных признаков максимума. Если максимумов вообще нет, то говорят, что моды не существует. Если максимум один, то закон распределения называют одномодальным, если максимумов несколько, то – многомодальным. На рисунке ниже представлены одномодальное распределение (а) и бимодальное или двухмодальное распределение (б).

Рисунок. Одномодальное распределение (а) и бимодальное распределение (б)

Таким образом, получается, что мода – это локальная, а не глобальная характеристика непрерывного случайного распределения. Ведь для глобальной характеристики всегда получалась бы одна единственная мода – значение с максимальной частотой. Но и в теории и в практике понимание моды как локальной характеристики непрерывного случайного распределения стало уже общепринятым. Необходимо отметить, что бывают и распределения, имеющие три и более мод, но при большом числе мод описание распределения в терминах наиболее частых значений уже, как правило, теряет смысл.

Для определения моды дискретной случайной величины необходимо построить её ряд распределения, а в нём выбрать значение, для которого абсолютная или относительная частота будет максимальной.

Пример. Пусть распределение проданной в магазине женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Размер обуви	34	35	36	37	38	39	40	41
Количество проданных пар	8	19	34	108	72	51	6	2

В этом ряду распределения модой является 37 размер, потому что с этим размером было продано больше всего обуви – 108 пар. Следовательно, в этом примере Мо=37.

Но бывает, что данные заданы интервалами значений частот, а не конкретными их значениями для каждого отдельного данного. Для интервальных данных определение моды несколько сложнее, и её невозможно определить точно. Общепринятой является такая процедура определения моды в этих случаях. Сначала нужно найти интервал значений данных, для которого суммарная частота является наибольшей. Этот интервал можно назвать модальным интервалом, т.е. интервалом, частота которого максимальна относительно других интервалов.

В самом простом варианте для интервальных данных модой считается середина этого модального интервала.

Для большей обоснованности определения моды для интервальных данных делается некоторое общепринятое допущение о том, что интервалы выше и ниже модального в зависимости от своей частоты имеют разные веса и влияют на положение моды, как бы перетягивают моду в свою сторону. Если частота интервала следующего за модальным больше, чем частота интервала перед модальным, то мода будет правее середины модального интервала и наоборот. Общепринятой формулой расчёта моды с учётом весов интервалов, прилегающих к модальному, является такая:

,

где - это мода, - значение начала модального интервала (его левая граница), - ширина модального интервала (от левой до правой границы), - частота модального интервала, - частота интервала непосредственно предшествующего модальному, а - частота интервала непосредственно следующего за модальным. Следовательно, в этой формуле мода интервального ряда представляет собой сумму значения начального уровня модального интервала и ширины отрезка, который определяется соотношением частоты ближайших к модальному интервалов.

В электронных таблицах, например, в Microsoft Excel, почти всегда есть встроенные функции для вычисления моды. В русскоязычной версии Microsoft Excel такая функция так и называется =МОДА(), она вычисляет моду для массива или одного интервала значений. Но эта функция не подходит для вычисления моды для интервальных данных, с несколькими интервалами значений.

Пример. Пусть распределение сотрудников по стажу их работы характеризуется следующими данными.

Стаж работы, лет	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10 и более
Число сотрудников, чел.	4	23	20	35	11	7

В самом простом варианте медианным стажем работы сотрудников можно считать 7 лет, потому что медианным является интервал данных от 6 до 8 лет стажа, а среднее арифметическое концов этого интервала даёт его середину, т.е. Мо=(6+8)/2=7.

С учётом ближайших к модальному интервалов моду нужно вычислять по более сложной формуле: . Это, безусловно, приближённое значение моды, но в данном случае точно её значение определить невозможно. И на практике считается, что этот второй вариант определения моды для интервального ряда распределения точнее даёт её значение, чем для простого варианта с серединой интервала.

Для вычисления моды непрерывной случайной величины необходимо находить экстремумы её плотности распределения.

Пример. Найти моду следующей непрерывной случайной величины, заданной своей плотностью:

Сначала найдём производную от плотности: = . Теперь решим уравнение . Приравняем к нулю результат вычисления этой производной: . В левой части два сомножителя больше нуля: по условию задачи, а , потому что значения показательной функции всегда больше нуля. Получается, что нулю может равняться только последний, третий сомножитель: . Решая это линейное уравнение, получаем: . В этой точке плотность вероятности будет иметь максимум, потому что величина при , т.е. левее плотность вероятности возрастает, при величина , , т.е. правее плотность вероятности убывает. Поэтому в самой точке плотность вероятности нашей случайной величины имеет максимум, т.е. это и есть мода этой случайной величины.