Математическое ожидание случайной величины и его свойства

В теории вероятностей математическое ожидание случайной величины понимается как средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина. Математическое ожидание случайной величины X будем обозначать M(X). Это обозначение происходит от названия математического ожидания на английском языке – Mean value (среднее значение). И, действительно, математическое ожидание случайной величины – это её среднее значение.

В зависимости от типа случайной величины вычисление её математического ожидания выполняется по различным формулам, имеющим, тем не менее, общие основания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины с конечным числом значений

Для дискретной случайной величины X с конечным числом значений её математическое ожидание: , где – это число значений случайной величины, – это число значений случайной величины, – i-тое по номеру значение случайной величины, – это вероятность i-того по номеру значения случайной величины.

Пример. Нефтяная компания ведёт поиск нефти в 4 районах. Вероятность обнаружения нефти в каждом из этих районов одинакова и равна 0,6. 1) Составить ряд распределения числа районов, в которых обнаружена нефть, считая его случайной величиной. 2) Построить диаграмму (многоугольник) ряда распределения, т.е. отобразить его графически. 3) Вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

Ряд распределения этой случайной величины:

Число районов с нефтью	0	1	2	3	4
Вероятности	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

Если вероятность найти нефть в конкретном районе равна 0,6, то вероятность не найти нефть в этом районе равна 1-0,6=0,4. Тогда, если нефть не нашли ни в одном районе, то это происходит независимо в каждом из них, поэтому общая вероятность не найти нефть в них равна произведению вероятностей 0,4*0,4*0,4*0,4=0,0256.

Если нефть нашли сразу во всех районах, то аналогично эта вероятность равна произведению вероятностей 0,6*0,6*0,6*0,6=0,1296.

Если нефть найдена только в одном первом районе, то во всех остальных её не нашли. Поэтому вероятность такого исхода будет 0,6*0,4*0,4*0,4=0,0384. Но найти нефть могли с такой вероятностью в любом из 4 районов, но только в одном из них, т.е. независимо. Поэтому вероятности нахождения нефти в одном из 4 районов складываются: 0,0384+0,0384+0,0384+0,0384=4*0,0384=0,1536.

Аналогично, если нефть нашли во всех районах, кроме одного, то же самое вычисление нужно делать для произведения 0,6*0,6*0,6*0,4=0,0864, где только одна вероятность 0,4 – нефть не найдена в одном из районов, а в остальных – вероятности 0,6, т.е. там нефть найдена. И таких вариантов снова будет 4, тогда получается общая вероятность нахождения нефти в 3 районах из 4 равна 4*0,0864=0,3456.

Если же нефть была найдена в 2 районах из 4, то для одной такой комбинации событий вероятность будет 0,6*0,6*0,4*0,4=0,0576. Но таких комбинаций по 2 района из 4, в которых найдена нефть, будет 6. Ведь для районов с нефтью на первое место можно поставить 4 района, на второе – 3 оставшихся, получается 12 вариантов. Но порядок выбора этих районов не важен, а мы могли получить при выборе одного набора из двух районов с нефтью сначала первый, потом второй, либо сначала второй, потом первый. Поэтому 12 вариантов с учётом порядка выбора нужно разделить пополам, чтобы получить 6 вариантов без учёта порядка выбора районов с нефтью. В итоге вероятность, что нефть будет найдена в 2 любых районах из 4 равна 6*0,0576=0,3456.

Диаграмма ряда распределения соответствующей случайной величины – числа районов, в которых обнаружена нефть – представлена ниже.

Математическое ожидание этой случайной величины вычисляется по её ряду распределения: M(X)=0*0,0256+1*0,1536+2*0,3456+3*0,3456+4*0,1296=2,4.