Функция распределения случайной величины и её свойства

Для анализа случайных величин в теории вероятностей принято использовать её функцию распределения. В отличие от ряда распределения функция распределения может быть определена для случайных величин любых типов.

Функцией распределения случайной величины называется функция, значениями которой являются вероятности того, что значения случайной величины будут строго меньше аргумента функции распределения . Следовательно, функция распределения случайной величины определена для любых действительных значений своего аргумента и значения функции распределения задаются так: .

Можно пояснить, что значение функции распределения – это вероятность того, что случайная величина примет значение, лежащее на числовой оси левее точки .

Функция распределения случайной величины удобна для анализа тем, что она определена для любых действительных значений своего аргумента . Если не существует значений случайной величины , которые меньше значения , то значение функции распределения будет равно нулю, поскольку нулевой будет вероятность . Для всех остальных значений своего аргумента значение функции распределения будет больше 0. Но эти значения всегда меньше или равны 1, поскольку значениями функции распределения всегда являются вероятности тех или иных событий. Следовательно, для любых действительных значений функция распределения определена и её значения находятся от 0 до 1 включительно: .

Функция распределения для любой случайной величины обладает следующими основными свойствами:

1. Функция распределения является неубывающей, т.е. если , то .

2. Функция распределения при стремлении аргумента к стремится к 0, а при стремлении к стремится к 1. Иначе говоря, , а .

3. Функция распределения является непрерывной слева, т.е. .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в полуинтервале , в который левый конец включён, а правый конец - нет, равна разности значений функции распределения этой случайной величины в концах этого полуинтервала: .

Первое основное свойство функции распределения можно обосновать так. Если , то интервал является подмножеством . Следовательно, случайное событие является подмножеством случайного события , а потому, как доказывалось в первой части курса, их вероятности связаны неравенством . И тогда по определению функции распределения получаем, что .

Второе и третье свойства функции распределения принимаются в этой части курса без доказательства. Отметим только, что оба эти свойства являются следствиями аксиом непрерывности вероятности, которые излагались в первой части курса теории вероятностей и математической статистики.

Четвёртое свойство можно обосновать так. Если два числа связаны неравенством , то объединение множеств и даст множество , т.е. . Равны и вероятности этих множеств, как случайных событий: . При этом множества и не пересекаются, а потому являются несовместными случайными событиями. Для таких случайных событий вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: . Следовательно, или . И тогда по определению того, как вычисляются значения функции распределения, вероятности в правой части этого равенства можно заменить значениями функции распределения от соответствующих значений аргументов: .

Если в последнем равенстве сделать переменной и устремить к справа, то получится, что в пределе полуинтервал превратится в точку , а само равенство превратится в . Выражение в правой части этого равенства называется скачком функции в точке . Если функция распределения является непрерывной в точке , то её скачёк равен нулю. Следовательно, для случайных величин, имеющих непрерывные функции распределения, вероятность принять какое-то конкретное значение всегда равно 0. Если же у случайной величины функция распределения является только слева непрерывной (а это, напомним, свойство любых функции распределения), то вероятность для этой случайной величины иметь какое-то конкретное значение будет равно скачку функции распределения в точке этого значения аргумента. Такая закономерность характерна для дискретных случайных величин: значения вероятностей для них иметь какое-то конкретное значение определяется величиной скачка разрывной справа функции распределения в точке этого конкретного значения.