Типы случайных величин

По типам случайные величины принято делить на дискретные, непрерывные и на величины смешанного типа. Случайная величина, определённая на конечном (дискретном) вероятностном пространстве, называется дискретной. Значения такой случайной величины всегда отделены друг от друга на числовой прямой какими-то промежутками без значений функции – случайной величины. Например, такими являются результаты стрельбы по мишени, подбрасываний монеты и т.п. В математике допускается как конечное, так и бесконечное, но счётное (которое можно перенумеровать натуральными числами: 1, 2, 3, и т.д. до бесконечности) множество значений дискретной случайной величины.

Случайные величины, значения которых сплошь заполняют какие-то промежутки значений на числовой прямой, называются непрерывными. Все значения непрерывной случайно величины невозможно перенумеровать натуральными числами. Примерами таких случайных величин являются изменения атмосферного давления в зависимости от времени, время ожидания общественного транспорта пассажирами на остановках и т.п. Ниже будет дано уточнение понятия непрерывной случайной величины.

Случайная величина смешанного типа кроме непрерывного множества своих возможных значений имеет ещё возможные значения, изолированные от этого множества, не заполняющие никаких промежутков на числовой прямой, которые можно перенумеровать натуральными числами.

Закон распределения случайной величины

Совокупность всех возможных значений случайной величины с соответствующими им вероятностями называется законом распределения вероятностей этой случайной величины. Закон распределения случайной величины – это функция, которая каждому значению случайной величины ставит в соответствие вероятность того, что случайная величина это значение примет. Перечислить возможные значения и указать их вероятности можно таблично, графически или аналитически.

Ряд распределения дискретной случайной величины

Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется рядом распределения дискретной случайной величины. Он чаще всего задаётся в виде таблицы, но может иметь вид формулы или графика. Ряд распределения дискретной случайной величины – это её закон распределения. Для непрерывных случайных величин ряды распределения создать невозможно, потому что невозможно перечислить все их значения. Поэтому ряды распределения применяются только для дискретных случайных величин.

Следует учитывать, что ряды распределений можно строить только для дискретных случайных величин, для непрерывных случайных величин ряды распределения определить невозможно.

Ряд распределения дискретной случайной величины является фактически табличным заданием функции, отображающей возможные значения этой случайной величины в вероятности случайных событий, которые этим значениям соответствуют. В результате ряд распределения – это соответствие значений случайной величины вероятностям этих значений.

Перед построением ряда распределения дискретной случайной величины её возможные значения упорядочиваются слева направо: , если всего может быть разных значений этой случайной величины. Затем строится следующая таблица (в первой колонке – названия строк):

				…
				…

Поскольку событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих возможных значений, является достоверным, сумма всех вероятностей в ряде распределения равна 1: .

В некоторых случаях дискретную случайную величину можно задать аналитически, т.е. формулой определения вероятности любого её значения. Например, одной из таких случайных величин может быть X, для которой , где p – это какая-то константа в интервале , а k – это целое число: Такую формулу можно отобразить на графике, на котором обычно значения случайной величины откладывают по оси абсцисс, а значения их вероятностей – по оси ординат. Графиком такого ряда распределения дискретной случайной величины всегда будет множество отдельных точек на координатной плоскости.

Пример. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – 50 рублей, на 50 – 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет этой лотереи.

Величина X может принять одно из пяти возможных значений: 0, 10, 50, 100 и 500. Заметим, что число билетов без выигрыша равно 1000 – 5 – 10 – 20 – 50 = 915. Следовательно, P{X = 0} = 915/1000 = 0,915. Аналогично находим все другие вероятности: P{X = 10} = 0,05, P{X = 50} = 0,02, P{X = 100} = 0,01, P{X = 500} = 0,005. Найденный ряд распределения случайной величины X представим таблично:

xk	0	10	50	100	500
pk	0,915	0,05	0,02	0,01	0,005

Данные этой таблицы ниже представлены в виде графика того же ряда распределения:

Для непрерывных величин ряд распределения и его график как способы задания закона распределения случайной величины являются неприемлемыми, так как невозможно перечислить все возможные значения непрерывной случайной величины.