Случайные величины Понятие функции в математике

Нестрогое определение функции может быть таким: функция – это «закон», по которому каждому элементу из некоторого множества ставится в соответствие единственный элемент из множества . При этом возможно, чтобы разным элементам из множества ставились в соответствие одинаковые элементы из множества . Но невозможно, чтобы одному элементу из множества соответствовало два или более элемента из множества .

Более точно функция в математике определяется как упорядоченная совокупность трёх объектов: области определения , множества значений и отображения каждого элемента множества в один и только один элемент множества . Это отображение часто обозначают символом . Тогда отображение элемента из области определения в элемент из множества значений записывают или . Эту последнюю запись можно интерпретировать так: когда внутрь скобок после знака попадает значение , производится действие функции на свой аргумент (так называется этот элемент области определения ) и в результате этого действия получается значение уже в множестве значений функции. Следовательно, функция по своему закону переводит элементы области своего определения в элементы множества значений. При этом некоторые элементы множества значений функции могут не иметь своих прообразов в области определения, т.е. им может не соответствовать ни один из элементов области определения. Но не допускается, чтобы в области определения функции были элементы, которые не имеют соответствующих по закону этой функции элементов в области её значений.

Понятие случайной величины

Нестрого можно определить случайную величину как величину, которая в результате опыта или эксперимента принимает одно из множества значений, а какое конкретно – заранее неизвестно.

Случайные величины обозначают большими латинскими буквами (X, Y, Z1, …), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x, y, z, …). Событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение x, по традиции, сложившейся в математике, будем отражать записью X = x. С левой стороны этого равенства стоит имя случайной величины, а справа – принимаемое ею значение. Вероятность этого события будем обозначать P{X = x}. Аналогично, P{X < x} – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем x. В некоторых случаях в таких записях вероятностей используют круглые скобки, тогда они получают вид: P(X=x) и P(X<x) соответственно.

Случайная величина вводится в теории вероятностей для того, чтобы можно было анализировать не только вероятности появления тех или иных результатов опытов или экспериментов, но и значения тех или иных характеристик этих результатов. Например, опыт может состоять в стрельбе из винтовки по мишени, а случайной величиной в таком случае может быть результат стрельбы, т.е. число выбитых стрелком очков.

С одним и тем же случайным событием может быть связано несколько случайных величин. Например, с многократным подбрасыванием монеты могут быть связаны такие случайные величины: число выпавших гербов, число выпавших орлов, превышение числа гербов над числом орлов, доля гербов или доля орлов в общем числе результатов опыта и т.п.

Следовательно, случайная величина – это числовая характеристика тех или иных свойств случайных событий. В первой части курса теории вероятностей и математической статистики мы изучали только одну характеристику случайных событий – их вероятности. Случайные величины позволяют изучать много других важных для исследователей и аналитиков их характеристик, которые являются числовыми.

Для анализа значений случайных величин, поскольку они являются числовыми, во многих случаях можно использовать методы математического анализа и некоторых других разделов математики. Следовательно, введение в теорию вероятностей понятия случайной величины расширяет возможности применения в теории вероятностей методов математики, которые хорошо отработаны в других её разделах.

Более формальное определение случайной величины является таким. В первой части курса вводилось понятие вероятностного пространства. Напомним, что совокупность объектов , где - универсальное множество событий, - -алгебра событий для этого универсального множества, а - вероятность (вероятностная мера на -алгебре событий ), называется вероятностным пространством.

Случайной величиной на вероятностном пространстве называется функция с областью определения и со значениями в области действительных чисел (это её множество значений). Закон отображения для случайной величины может быть только таким, чтобы для любого числа каждое множество , состоящее из элементов , для которых , входило в -алгебру событий . Символически это утверждение можно записать так: для любого числа должно выполняться условие: .

По определению, все элементы -алгебру событий являются случайными событиями. Для краткости в дальнейшем мы будем иногда записывать случайное событие – подмножество универсального множества , определяемое неравенством на свои элементы , как , а вероятность такого случайного события – как .

Поскольку является случайным событием, противоположное ему событие тоже является случайным.