Условная вероятность, независимые события и формула умножения вероятностей

Условной вероятностью события A по отношению к событию B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Обозначается такая условная вероятность как P(A|B), а читается – так: «P от A при условии B». Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности, потому что тоже является вероятностью. В частности, . Отметим также, что если B ⊂ A, то P(A|B) = 1, потому что при осуществлении B как части множества A событие A обязательно осуществляется через элементарные события, входящие в B. Кроме того, если , то P(A|B) = 0, потому что при осуществлении события B событие A никак не может осуществиться, ведь у A и B нет никаких общих элементарных событий.

Вероятность произведения событий выражается через условную вероятность: . Поскольку значение вероятности не изменится при смене порядка написания произведения событий AB=BA, то получается, что . Эта формула называется формулой умножения вероятностей. Из неё можно получить формулу для вычисления условной вероятности: . И аналогично из первого варианта этой формулы умножения вероятностей получается, что .

Докажем формулу умножения вероятностей для классического определения вероятностей. Вероятность произведения событий по классическому определению – это , где N – это общее число возможных исходов опыта, а N_AB – число благоприятных таких исходов. Условную вероятность можно представить так: , потому что это вероятность при условии, что событие B произошло, т.е. при общем числе исходов N_B. А благоприятных исходов здесь будет N_AB, потому что произошло и событие A, и событие B. Ведь событие A осуществилось при условии осуществления и события B. Преобразуем формулу, разделив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же число N_B, не равное нулю, что не изменит значения этой дроби: . В этой формуле первая дробь – это условная вероятность , а вторая дробь – это обычная, безусловная вероятность . В результате получаем: , т.е. один из вариантов формулы умножения вероятностей.

Необходимо помнить, что формула умножения вероятностей может быть доказана и для любых других определений вероятности. Как правило, для этих целей проводят одно доказательство для аксиоматического определения вероятности, т.е. её общего математического определения, из которого следуют доказательства и для всех других определений вероятности, согласованных с этим аксиоматическим. Но такое доказательство сложнее, и по этой причине здесь не приводится.

Если условная вероятность совпадает с безусловной вероятностью, т.е. , то события A и B называются статистически независимыми событиями. Это значит, что вероятность осуществления события A не зависит от того, произошло или нет событие B. В противном случае, когда , события A и B называются статистически завиcимыми событиями. Можно доказать, что статистическая зависимость или независимость является взаимной, т.е. если , то и . Действительно, , а . Если эти вероятности равны , то можно применить свойства пропорции и получить равенство произведений их числителей на знаменатели: из получается . Разделив обе части этого равенства на N, а потом на N_A, получаем: , т.е. что .

Если события A и B статистически независимы, то из формулы умножения вероятностей получаем: , потому что для независимых событий . Следовательно, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: .

Несовместность событий и их независимость – это разные свойства событий. Например, если несовместные события имеют ненулевые вероятности, то они зависимы. Действительно, если события A и B несовместны, то они не могут осуществиться одновременно, а потому вероятность их произведения равна нулю: . И, если бы события A и B были независимы, то была бы верна формула: . Но при ненулевых значениях вероятностей и их произведение не может быть равно нулю. Следовательно, события A и B в таких условиях должны быть зависимы.

Пример. Вероятность выпадения «герба» или «решки» при подбрасывании монеты равняется 1/2. Но вероятность их одновременного выпадения равна нулю, поскольку они несовместны. Значит эти события зависимы, т.е. статистически связаны между собой.

Пример. В урне находится 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад в урну они оба раза не возвращаются. Найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми. Благоприятным событием A в этом примере является появление двух белых шаров из урны. Это событие является произведением двух событий: A₁ – первый вынутый шар белый и A₂ – второй вынутый шар белый. Тогда можно вычислить вероятность благоприятного события: . Вычислим вероятности, составляющие сомножители этого произведения. Для события A₁ благоприятных исходов 2 (можно вынуть первый или второй белый шар), а всего исходов – 5 (потому что столько всего шаров в урне). Поэтому . При вычислении второй, уже условной вероятности, необходимо учесть, что один белых шар уже вынут из урны, поэтому благоприятных событий будет 1 (в урне остался один белый шар). А всего событий при второй выемке шара будет 4, потому что столько шаров после выемки первого шара в этой урне осталось. Поэтому . Тогда по формуле произведения вероятностей получаем: .

Вероятность похожего события B будет иной, если при такой же выемке шаров их потом снова возвращают в урну, просто фиксируя, какого цвета был вынутый шар. Если событие B в этой новой ситуации будет тоже состоять в том, что будут вынуты два белых шара, то выемка каждого из них будет осуществляться независимо от другого. Тогда снова событие B является произведением двух событий: A₁ – первый вынутый шар белый и A₂ – второй вынутый шар белый. Но теперь события A₁ и A₂ являются независимыми друг от друга. Поэтому . И теперь вероятности обоих событий A₁ и A₂ будут одинаковыми и равными , потому что благоприятных событий будет 2 (два шара в урне), а всего возможных событий 5 (всего шаров в урне). И тогда вероятность . Эта вероятность получилась несколько больше первой.

Пример. Два стрелка одновременно, независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что в мишени окажется две пробоины?

Пусть событие A – попадание в мишень первым стрелком, событие B – попадание в мишень вторым стрелком, событие C – в мишени оказалось две пробоины, т.е. оба стрелка попали в мишень. Тогда C = AB, причём события A и B являются независимыми по условию задачи. Следовательно, вероятность .