Простейшие свойства вероятности, помогающие их вычислять

Свойство 1. Для вероятности любого события A выполняется неравенство: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Действительно, если N_A есть число исходов опыта, приводящих к осуществлению события A, а N – общее число исходов, то 0 ≤ N_A ≤ N. Поделив это неравенство на N, получим 0 ≤ P(A) ≤ 1, потому что P(A)= N_A/N, а N/N=1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

Невозможным является неосуществимое событие, поэтому для него число исходов и, следовательно, .

Обратное утверждение не всегда верно. Если P(A) = 0, то нельзя утверждать, что A является невозможным событием. Например, предположим, что на отрезок [0; 2] случайным образом ставится точка. Вероятность того, что точка попадёт в интервал [x, x + Δx), будет равна |Δx|/2. При Δx → 0 эта вероятность будет стремиться к нулю. Значит вероятность того, что точка будет иметь координату, совпадающую с x, равна нулю для любого значения x. Но в результате опыта точка будет иметь конкретную координату, т. е. произойдёт событие с нулевой вероятностью. Равенство P(A) = 0 при бесконечном числе исходов опыта нужно понимать в том смысле, что событие A имеет бесконечно малую вероятность и для его реализации опыт придётся повторять неограниченное число раз.

Свойство 3. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. P(E) = 1.

Достоверным считается событие, которое обязательно произойдёт. Для достоверного события N_E = N и, следовательно, P(E) = N_E/N = 1.

Здесь также обратное утверждение не всегда справедливо. Действительно, если P(A) = 1, то P( ) = 0. Событие , противоположное событию A, имея нулевую вероятность, может иногда произойти (см. примечание к свойству 2). Но в таком случае не произойдёт событие A, хотя P(A) = 1.

Свойство 4. Для несовместных событий A и B P(A + B) = P(A) + P(B), если .

Несовместными считаются события, которые не могут осуществиться одновременно. Поэтому несовместные события не пересекаются как множества элементарных событий, т.е. их пересечение или, иначе говоря, их произведение является событием невозможным. Так как события A и B не пересекаются, то число исходов опыта N_{A + B}, приводящих к осуществлению событий A или B, равно сумме исходов N_A и N_B, приводящих соответственно к осуществлению событий A и B по отдельности, т.е. N_A+B = N_A + N_B. Поделив это равенство на N, получим равенство N_A+B /N = N_A /N + N_B/N. Это и есть правило вычисления вероятности суммы несовместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Это свойство называют свойством аддитивности вероятностей.

Вообще, если A₁, A₂, …, A_n группа попарно несовместных событий, т.е. A_iA_k = V, когда i ≠ k, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ + … + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n)

Если эта группа событий является полной группой, т.е. A₁ + A₂ + … + A_n = E, то P(A₁ + A₂ + … + A_n) = P(E) = 1, из чего на основании аддитивности вероятностей попарно несовместных событий следует, что P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) = 1.

События и противоположное ему несовместны и составляют полную группу. Следовательно, . Поэтому вероятность противоположного события .

Свойство 5. Если A ⊂ B, то P(A) ≤ P(B).

Соотношение A ⊂ B означает, что множество A составляет часть множества B. Поэтому всегда N_A ≤ N_B. Поделив это неравенство на N, получим N_A /N≤ N_B /N. А поскольку P(A)= N_A /N и P(B)= N_B /N, то получается неравенство P(A) ≤ P(B).