4. Визначення додаткових динамічних реакцій опор рухомого тіла

При русі невільного твердого тіла реакції в’язей його точок і складаються із статичних і додаткових динамічних складових:

Аналогічним рівностям відповідають головні вектори і головні моменти реакцій в’язей:

(6.17)

Як відомо з статики, статичні реакції в’язей задовольняють слідуючим шести рівнянням рівноваги:

(6.18)

Підставимо в рівняння кінетостатики (6.8) значення проекцій головного вектора активних сил і головного моменту реакцій в’язей, визначених рівнянням (6.17):

;

Враховуючи рівності (6.18), яким задовольняють статичні реакції, одержимо рівняння для визначення додаткових динамічних реакцій опор твердого тіла, яке рухається:

(6.19)

Зауважимо, що при складанні цих рівнянь не треба враховувати активні сили. Відмітимо також, що у часткових випадках кількість рівнянь може зменшуватись: наприклад, при плоскому русі твердого тіла їх кількість буде дорівнювати трьом.

5. Статичні і динамічні тиски при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі

Одержанні в попередньому параграфі результати використаємо для визначення тиску на вісь обертового тіла.

У випадку обертання твердого тіла навколо нерухомої осі останнє зазнає тиску, створеного, з одного боку, силами інерції, що виникають при цьому обертанні, а з другого боку – дією сил, прикладених до тіла. Тиски на вісь обертання, створенні при обертанні тіла, називаються динамічними тисками на відміну від статичних тисків, створених при нерухомому тілі прикладеними до нього силами. Як завжди замість тисків на вісь обертання будемо визначати відповідні динамічні і статичні реакції в’язей.

Розглянемо тверде тіло, яке рівномірно обертається з кутовою швидкістю ω навколо осі, що не проходить через центр мас тіла і закріплено у підшипниках А і В (рис. 6.1). Визначимо динамічні реакції підшипників, діючи на вісь обертання, тобто реакції , що виникають при обертанні тіла.

Рис. 6.1

Нехай на тіло діють задані сили Позначимо проекції головного вектора цих сил на координатні осі Axyz, що обертаються разом з тілом, через і т. і.), а їх головні моменти – через і т. і.). При цьому, враховуючи, що тіло обертається рівномірно, маємо = 0. Виділимо шукані реакції окремо і позначимо AB = h. При цьому рівняння кінетостатики (6.8) приймають вигляд:

(6.20)

Визначимо значення проекції головного вектора і головного моменту сил інерції обертового тіла на осі координат.

Головний вектор сил інерції , де ; М – маса тіла. Якщо то ε = 0 і ε , тобто , де - відстань ОС. Отже напрям співпадає з напрямом ОС. Але , де і - координати центра мас. Таким чином маємо:

Для визначення головних моментів сил інерції обертового тіла відносно осей х і у, тобто розглянемо будь-яку частинку тіла з масою , що знаходиться на відстані від осі обертання (рис. 6.1). Для неї, при , сила інерції також має тільки відцентрову складову , проекції якої, як і вектора , дорівнюють:

При цьому матимемо:

Складаючи такі вирази для всіх точок тіла і додаючи їх будемо мати:

де - відцентрові моменти інерції відносно осей xz i yzвідповідно.

Підставляючи всі знайдені значення до рівнянь (6.20) дістанемо:

(6.21)

Рівняння (6.21) визначають реакції, діючи на вісь тіла, що обертається рівномірно, навколо осі Oz, які називаються динамічними реакціями.

Назвемо статичними реакції, створенні прикладеними до тіла силами, а додатковими динамічними реакціями – реакції створенні тільки силами інерції. Статичні реакції дістанемо поклавши у (6.21) :

.

(6.22)

Додаткові динамічні реакції дістанемо віднявши від динамічних реакцій статичні:

(6.23)

Додаткові динамічні реакції залежать не тільки від кутової швидкості обертання тіла, але і від , що характеризують розподіл мас тіла по відношенню до осі обертання і можуть бути набагато більше статичних.